Daļēji pasūtīts komplekts. Daļēji sakārtots komplekts Skatiet, ko nozīmē labi sakārtots komplekts citās vārdnīcās.

Koncepcija, kas formalizē intuitīvas idejas par kārtošanu, secību utt. Neformāli sakot, kopa ir daļēji sakārtota, ja ir norādīts, kuri elementi sekot (vairāk utt.) priekš kam. Šajā gadījumā vispārīgā gadījumā var izrādīties, ka dažus elementu pārus nesaista attiecības “seko”.

Abstrakts piemērs ir trīs elementu kopas apakškopu kolekcija $$x, y, z$$ , pasūtīts pēc iekļaušanas.

Kā piemēru "no dzīves" mēs varam dot daudz cilvēku, kas sakārtoti pēc attiecības "būt priekštecim".

Definīcija un piemēri

pasūtījums, vai daļēja kārtība, filmēšanas laukumā $M$ sauc par bināro attiecību $\varphi$ uz $M$ (noteikts ar kādu kopu $R_(\varphi) \apakškopa M \reizes M$ ), kas atbilst šādiem nosacījumiem:

refleksivitāte: $\forall a \; (a \varphi a)$
Transitivitāte: $\forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Labā bultiņa a \varphi c$
Antisimetrija: $\forall a, b \; (a \varphi b) \ķīlis (b \varphi a) \Labā bultiņa a = b$

Daudz $M$ , uz kura ir dota daļēja secība, tiek izsaukta daļēji pasūtīts(Angļu) daļēji pasūtīts komplekts, pozīcija). Lai būtu pilnīgi precīzi, tad daļēji pasūtīts komplekts ir pāris $\langle M, \varphi \rangle$ , kur $M$ - komplekts un $\varphi$ - daļēja pasūtījuma attiecība ieslēgta $M$ .

Terminoloģija un apzīmējumi

Daļējas kārtības attiecību parasti apzīmē ar simbolu $\leqslant$ , pēc analoģijas ar attiecību "mazāks par vai vienāds ar" reālo skaitļu kopā. Tajā pašā laikā, ja $a \leqslant b$ , tad mēs sakām, ka elements $a$ nepārsniedz $b$ , vai ko $a$ padotais $b$ .

Ja $a \leqslant b$ un $a \neq b$ , tad viņi raksta $a< b$ , un viņi tā saka $a$ mazāk $b$ , vai ko $a$ stingri pakļauts $b$ .

Dažreiz, lai atšķirtu patvaļīgu secību kādā kopā no zināmās attiecības "mazāks par vai vienāds" reālo skaitļu kopā, nevis $\leqslant$ un $<$ izmantojiet speciālās rakstzīmes $\preccurlyeq$ un $\prec$ attiecīgi.

Stingra un nestingra kārtība

Tiek saukta arī sakarība, kas atbilst refleksivitātes, tranzitivitātes un antisimetrijas nosacījumiem vaļīgs, vai refleksīvā kārtība. Ja refleksivitātes nosacījumu aizstāj ar nosacījumu antirefleksivitāte:

$\forall a \; \neg (a \varphi a)$

tad mēs iegūstam definīciju stingri, vai antirefleksīvā kārtība.

Ja $\leqslant$ - nestingra kārtība filmēšanas laukumā $M$ , tad attiecība $<$ , definēts kā:

$a< b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$

ir stingra pavēle $M$ . Un otrādi, ja $<$ - stingra kārtība, tad attiecības $\leqslant$ definēts kā

$a \leqslant b \; \overset(\mathrm(def))(\Longleftrightrow) \; (a< b) \vee (a = b)$

ir nestingra kārtība.

Tāpēc viss ir viens un tas pats – komplektā norādīt nestingru kārtību, vai stingru. Rezultāts ir tāda pati struktūra. Atšķirība ir tikai terminoloģijā un apzīmējumos.

Piemēri

$\vartriangleright$ Kā minēts iepriekš, reālo skaitļu kopa $\mathbb(R)$ daļēji pasūtīts par mazāku vai vienādu ar $\leqslant$ .

$\vartriangleright$ Ļaujiet $M$ - visu segmentā definēto reālās vērtības funkciju kopa , tas ir, formas funkcijas

f \kols \uz \mathbb(R)

Iepazīstinām ar pasūtījuma attiecību $\leqslant$ uz $M$ šādā veidā. Mēs to teiksim $f \leqslant g$ ja par visiem $x\in$ nevienlīdzību $f(x)\leqslant g(x)$ . Acīmredzot ieviestā attiecība patiešām ir daļēja kārtība.

$\vartriangleright$ Ļaujiet $M$ - daži komplekti. Daudz $\mathcal(P)(M)$ visas apakškopas $M$ (tā sauktais Būla), daļēji sakārtots pēc iekļaušanas $M \subseteq N$ .

$\vartriangleright$ Visu naturālo skaitļu kopa $\mathbb(N)$ daļēji sakārtots pēc dalāmības $m \mid n$ .

Saistītās definīcijas

Nesalīdzināmi elementi

Ja $a$ un $b$ ir reāli skaitļi, tad spēkā ir viena un tikai viena no šīm sakarībām:

a< b, \qquad a=b, \qquad b

Ja $a$ un $b$ ir patvaļīgas daļēji sakārtotas kopas elementi, tad pastāv ceturtā loģiskā iespēja: neviena no šīm trim attiecībām nav izpildīta. Šajā gadījumā elementi $a$ un $b$ sauca nesalīdzināms. Piemēram, ja $M$ - segmenta reālās vērtības funkciju kopa , tad elementi $f(x) = x$ un $g(x) = 1-x$ būs nesalīdzināmi. Nesalīdzināmu elementu pastāvēšanas iespēja izskaidro termina nozīmi "daļēji pasūtīts komplekts".

Minimālais/maksimālais un mazākais/lielākais elements

Galvenie raksti: Maksimums (matemātika) , Minimums (matemātika)

Sakarā ar to, ka daļēji sakārtotā komplektā var būt nesalīdzināmu elementu pāri, tiek ieviestas divas dažādas definīcijas: minimālais elements un mazākais elements.

Elements $a \in M$ sauca minimāls(Angļu) minimālais elements), ja elements neeksistē $b< a$ . Citiem vārdiem sakot, $a$ - minimālais elements, ja jebkuram elementam $b \ in M$ vai $b>a$ , vai $b=a$ , vai $b$ un $a$ nesalīdzināms. Elements $a$ sauca vismazāk(Angļu) mazākais elements, apakšējā robeža (pret augšējo robežu) ) ja kādam elementam $b \ in M$ pastāv nevienlīdzība $b \geqslant a$ . Acīmredzot arī katrs mazākais elements ir minimāls, taču kopumā nav taisnība: minimālais elements $a$ var nebūt mazākais, ja ir elementi $b$ , nav salīdzināms ar $a$ .

Acīmredzot, ja komplektā ir mazākais elements, tad tas ir unikāls. Bet var būt vairāki minimālie elementi. Kā piemēru apsveriet komplektu $\mathbb(N)\setminus $1 $ = $2, 3, \ldots $$ naturāli skaitļi bez vienotības, sakārtoti pēc dalāmības $\mid$ . Šeit minimālie elementi būs pirmskaitļi, bet mazākais elements neeksistē.

Jēdzieni maksimums(Angļu) maksimālais elements) un lielākais(Angļu) lielākais elements) elementi.

Augšējā un apakšējā seja

Ļaujiet $A$ - daļēji sakārtota komplekta apakškopa $\langle M, \leqslant\rangle$ . Elements $u \in M$ sauca augšējā seja(Angļu) augšējā robeža) $A$ ja kāds elements $a\in A$ nepārsniedz $u$ . Jēdziens apakšējā seja(Angļu) apakšējā robeža) komplekti $A$ .

Jebkurš elements, kas ir lielāks par kādu augšējo robežu $A$ , būs arī augšējā robeža $A$ . Un jebkurš elements, kas ir mazāks par kādu zemāko robežu $A$ , būs arī apakšējā robeža $A$ . Šie apsvērumi noved pie jēdzienu ieviešanas vismaz augšējo seju(Angļu) zemākā augšējā robeža) un lielākā apakšējā seja(Angļu) lielākā apakšējā robeža).

Īpaši daļēji pasūtītu komplektu veidi

Lineāri sakārtoti komplekti

Galvenais raksts: Lineāri pasūtīts komplekts

Ļaujiet $\langle M, \leqslant\rangle$ ir daļēji pasūtīts komplekts. Ja iekšā $M$ jebkuri divi elementi ir salīdzināmi, tad kopa $M$ sauca lineāri sakārtots(Angļu) lineāri sakārtots komplekts). Tiek saukta arī lineāri sakārtota kopa perfekti pasūtīts(Angļu) pilnībā pasūtīts komplekts), vai vienkārši, pasūtīts komplekts. Tādējādi lineāri sakārtotā komplektā jebkuriem diviem elementiem $a$ un $b$ ir spēkā viens un tikai viens no šiem: vai nu $a, vai a=b, vai b .$

Tiek izsaukta arī jebkura daļēji sakārtotas kopas lineāri sakārtota apakškopa ķēde(Angļu) ķēde), tas ir, ķēde daļēji pasūtītā komplektā $\langle M, \leqslant \rangle$ ir tās apakškopa, kurā jebkuri divi elementi ir salīdzināmi.

No iepriekš minētajiem daļēji sakārtoto kopu piemēriem tikai reālo skaitļu kopa ir lineāri sakārtota. Segmenta reālās vērtības funkciju kopa (ar nosacījumu $a), Būla vērtība \mathcal(P)(M) (pie |M|\geqslant 2), naturālie skaitļi ar dalāmības koeficientu nav lineāri sakārtoti.$

Lineāri sakārtotā kopā mazākā un minimālā, kā arī lielākā un maksimālā jēdzieni ir vienādi.

Labi pasūtīti komplekti

Galvenais raksts: Labi pasūtīts komplekts

Tiek izsaukta lineāri sakārtota kopa diezgan kārtīgi(Angļu) labi sakārtots), ja katrai no tās netukšai apakškopai ir mazākais elements . Attiecīgi tiek izsaukts pasūtījums komplektā pilnā kārtībā(Angļu) labi kārtībā).

Klasisks labi sakārtotas kopas piemērs ir naturālo skaitļu kopa $\mathbb(N)$ . Apgalvojums, ka jebkura apakškopa, kas nav tukša $\mathbb(N)$ satur mazāko elementu, ir līdzvērtīgs matemātiskās indukcijas principam. Lineāri sakārtotas, bet ne pilnībā sakārtotas kopas piemērs ir nenegatīvu skaitļu kopa $\mathbb(R)_(+) = $x: x \geqslant 0$$ . Patiešām, tā apakškopa $$x: x > 1$$ nav mazākā elementa.

Labi sakārtotām kopām ir ārkārtīgi svarīga loma vispārējā kopu teorijā.

Teorēmas par daļēji sakārtotām kopām

Viena no galvenajām teorēmām par daļēji sakārtotām kopām ir Hausdorfa maksimālais princips un Kuratovska-Zorna lemma. Šie apgalvojumi ir līdzvērtīgi viens otram un būtībā balstās uz tā saukto izvēles aksiomu (patiesībā tie ir līdzvērtīgi izvēles aksiomai).

Piezīmes

Literatūra

Aleksandrovs P.S. Ievads kopu teorijā un vispārējā topoloģijā. - M.: "NAUKA", 1977. - 368 lpp.

Kolmogorovs A. N., Fomins S. V. Funkciju teorijas elementi un funkcionālā analīze. - 7. izd. - M.: "FIZMATLIT", 2004. - 572 lpp. - ISBN 5-9221-0266-4
Hausdorfs F. Kopu teorija. - 4. izd. - M.: URSS, 2007. - 304 lpp. - ISBN 978-5-382-00127-2

Skatīt arī

Režģis
Kārtas skaitlis
Iepriekšpasūtījums

cs:Uspořádaná množinaeo:Partordohu:Részbenrendezett halmazko:부분순서 nl:Partiële orde oc:Relacion d"òrdre ro:Relaţie de ordine sl:Relacija urejenostizh:偏系

Paziņojums: šī raksta sākotnējais pamats bija līdzīgs raksts vietnē http://ru.wikipedia.org saskaņā ar CC-BY-SA noteikumiem http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 , kas bija vēlāk mainīts, labots un rediģēts.

kopa P ar uz tās definētu bināru sakarību, kas atbilst šādiem nosacījumiem: 4) jebkurā netukšā apakškopā ~ ir tāds elements a, ka visiem; tātad V. plkst. m ir lineāri sakārtots komplekts, kas atbilst minimāluma nosacījumam. Jēdziens V. plkst. m iepazīstināja G. Kantors. V. piemērs plkst. m ir dabiski sakārtota naturālo skaitļu kopa. No otras puses, reālu skaitļu segments ar dabisku secību nav V. u. m. Jebkura V. apakškopa plkst. m pati par sevi ir diezgan sakārtota. Galīga skaitļa Dekarta reizinājums V. u. m ir pilnībā sakārtots pēc leksikogrāfiskās kārtas attiecības. Lineāri sakārtota kopa ir labi sakārtota tad un tikai tad, ja tajā nav apakškopas, kas ir antiizomorfa (sk. Daļēji sakārtotu kopu antiizomorfisms) pret naturālo skaitļu kopu. Mazākais elements V. plkst. m. Rnaz. nulle (un apzīmēta ar 0). Jebkuram elementam kopa kopas P sākotnējais segments. Jebkuram elementam a, kas nav lielākais P, tūlīt aiz tā ir elements; to parasti apzīmē ar a+1. Elements V. plkst. m., kurai nav tieši pirms, sauc par limitu. Salīdzināšanas teorēma. Par jebkuriem diviem V. plkst. m. P1 un P2, notiek viena un tikai viena no šādām situācijām: 1) P 1 ir izomorfs P 2 , 2) P 1 ir izomorfs kādam kopas P 2 sākotnējam segmentam, 3) P 2 ir izomorfs uz kopas P1 sākuma segmentu. Pieņemot aksiomu starp izvēles kopu teorijas aksiomām, var pierādīt, ka uz jebkuras netukšas kopas var ieviest secības sakarību, kas to pārvērš par V. u. m (t.i., jebkuru komplektu, kas nav tukšs, var pasūtīt pilnībā). Šī teorēma, ko sauc par Cermelo teorēmu, faktiski ir līdzvērtīga izvēles aksiomai. Cermelo teorēma un salīdzināšanas teorēma kalpo par pamatu kopu salīdzināšanai pēc to kardinalitātes. Kārtības veidi V. plkst. m. transfinīti jeb transfinīti skaitļi. Lit.: Cantor G., "Math. Ann.", 1883, Bd 21, S. 51-8; Aleksandrovs PS, Ievads vispārīgajā kopu un funkciju teorijā, Maskava-Ļeņingrada, 1948; HausdorfF., Kopu teorija, tulk. no vācu val., M.-L., 1937; Burbaki N., Kopu teorija, tulk. no franču valodas, Maskava, 1965; Kuratovskis K., Mostovskis A., Kopas teorija, tulkots no angļu valodas, Maskava, 1970. B. A. Efimovs, T. S. Fofanova.

Skatīties vērtība Labi pasūtīts komplekts citās vārdnīcās

Daudz- svars
pūļi
bezdibenis
bezdibenis
tumšs
tumša tumsa
tēmu tumšums
kaudze
PVO
dzelzceļa vagons
izrāvienu
nāvi
spēks
Sinonīmu vārdnīca

Diezgan- adv. pilnīgs, pilnīgs, trūkstošs, bez mēra. Izmēriet pilnībā. | Bagātīgi, pietiekami, pietiekami. Viņi dzīvo labi. | Viss bez pēdām, pilnībā, pilnīgi, vispār, pietiekami .........
Dāla skaidrojošā vārdnīca

Daudz- reizināt utt., skatiet daudzus.
Dāla skaidrojošā vārdnīca

Daudz— ļaudis, sk. (grāmata). 1. tikai vienības Nenoteikti liels skaits kaut ko. strādniekiem. faktus. Savā dzīvē esmu dzirdējis daudz lielisku dziedātāju. Ņekrasovs. 2. Agregāts.........
Ušakova skaidrojošā vārdnīca

Pilnīgi apstākļa vārds.- 1. Pilnīgi, pilnīgi, pilnīgi.
Efremovas skaidrojošā vārdnīca

Ne gluži Adv. Razg.— 1. Ne pilnībā.
Efremovas skaidrojošā vārdnīca

Diezgan- adv. Pilnīgi, ļoti, pilnīgi. apmierināts ar skaidrojumu. cienīgs cilvēks. Ļaujiet man pilnībā neizbaudīt prieku. Puškins.
Ušakova skaidrojošā vārdnīca

Diezgan- adv. Pilnīgi, pilnīgi, pilnīgi. V. ir apmierināts. V. ir gatavs. B. noteikta atbilde. B. pietiekami.
Kuzņecova skaidrojošā vārdnīca

Daudz- -a; sk.
1. Ļoti liels skaits, kāda, kaut kā skaits. M. cilvēki. M. fakti. Audzē m. ziedus. Pierādījumu ir daudz. Lieliski m. piemēri (ļoti.........
Kuzņecova skaidrojošā vārdnīca

Aizsniedzams komplekts- Iespējamās sagaidāmās atdeves un standarta novirzes pāri visiem portfeļiem, ko var izveidot no noteiktas aktīvu kopas.
Ekonomikas vārdnīca

Iespējamais komplekts (vai iespēju komplekts))- portfeļu kopums, ko var veidot no investora apsvērtajiem vērtspapīriem.
Ekonomikas vārdnīca

Daudz- elementu kopums, parametri, kas apvienoti saskaņā ar dažiem
zīme
Ekonomikas vārdnīca

Iespējamo risinājumu kopums- platība, kurā to var ražot
risinājumu izvēle, ko ierobežo izvirzītie mērķi un pieejamie resursi.
Ekonomikas vārdnīca

Universāls komplekts- , matemātikā - SET, kas satur visus elementus ar noteiktu īpašību. To sauc arī par hipotētisku kopu, kurā jāiekļauj visas iespējamās ........
Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca

Daudz— matemātikā sk. kopu teoriju.

Neskaitāmi daudzi— kopu teorijas jēdziens; bezgalīga kopa, kuras kardinalitāte ir lielāka par saskaitāmas kopas kardinalitāti. Piemēram, visu reālo skaitļu kopa ir nesaskaitāma kopa.
Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Tukšs komplekts— kopu teorijas jēdziens; tukša kopa - kopa, kas nesatur nevienu elementu; norādīts? vai 0. Rodas tukšas kopas jēdziens (tāpat kā jēdziens "nulle")......
Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Skaitāms komplekts— kopu teorijas jēdziens; saskaitāma kopa ir bezgalīga kopa, kuras elementus var uzskaitīt ar naturāliem skaitļiem. Visu racionālo skaitļu kopa............
Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Daži vai daudzi nepieciešamie iemesli- cēloņsakarības shēma, kas sniedz vismaz divus iemeslus, lai izskaidrotu notiekošo.
socioloģiskā vārdnīca

Daži vai daudzi apmierinoši iemesli- cēloņsakarības shēma, kas darbojas, ja, ja nav iepriekšējas informācijas, situācija nodrošina dažādu interpretāciju iespēju, .......
socioloģiskā vārdnīca

Klase, komplekts (loģikā un matemātikā)- - ierobežots vai bezgalīgs objektu kopums, kas izdalīts pēc to kopīgās pazīmes (īpašības vai attiecības), kas ir iedomājams kā kaut kas vesels. Objekti, kas veido K., .......
Filozofiskā vārdnīca

Izplūdušais komplekts- - kopa ar izplūdušām robežām, kad pāreja no piederības kopai uz nepiederību kopai notiek pakāpeniski, nevis krasi. Klasiskā...
Filozofiskā vārdnīca

Normāls komplekts Skatīt: Pretruna skaidrā definīcijā.
Filozofiskā vārdnīca

PILNĪGI- PILNĪGI, adv. Pilnīgi, pilnīgi. V. ir apmierināts.
Ožegova skaidrojošā vārdnīca

DAUDZ- Daudz, -a, sk. 1. Ļoti liels skaits, kāds-kaut kas. M. cilvēki. M. lietas. Daudz krājumu. 2. Matemātikā: elementu kopums apvienots ........
Ožegova skaidrojošā vārdnīca

IV Jaščenko Kopu teorijas paradoksi

8. Labi pasūtīti komplekti

Apsveriet komplektu M, apmēram daži pāriem a, b kuru elementi ir zināmi a Ј b(t.i., filmēšanas laukumā M dota pasūtījuma attiecības). Kārtības attiecību var interpretēt arī kā kopas kvadrāta apakškopu M 2 = M× M: tabulā, kuras rindas un kolonnas atbilst kopas elementiem M, dažas šūnas ir noēnotas — ja šūna kolonnas krustpunktā ir ēnota a un līnijas b, tad a Ј b.

Pasūtījuma attiecība, protams, nav tikai jebkura apakškopa M× M, tam jāatbilst šādām īpašībām:

1) a Ј a jebkuram a O M;

2) ja a Ј b un b Ј c, tad a Ј c;

3) ja a Ј b un b Ј a, tad a = b.

Kārtības attiecības ir, piemēram, parastā skaitļu salīdzināšana uz taisnes (Ј), kopu ligzdošana (H), attiecība "dala" ( a | b – a sadala b).

Reizēm no pasūtījuma attiecības gribas izpildīt vēl kādas papildu īpašības, piemēram, ja nav nesalīdzināmu elementu, t.i., par jebkuriem diviem elementiem a un b var apgalvot, ka vai nu a Ј b, vai b Ј a, tad tiek izsaukta kopas sakārtošana lineārā secība: visus komplekta elementus var sakārtot augošā secībā.

Skrienot nedaudz uz priekšu, sakām, ka komplekta elementu sakārtošana ir nepieciešama, jo īpaši, lai varētu aplūkot objektus ar indukcijas palīdzību: Es vēlos, lai vispirms varētu apsvērt pirmo elementu, pierādīt tam kādu apgalvojumu un pēc tam, izmantojot faktu, ka šis apgalvojums ir patiess pirmajam n elementi, izvadiet to un ( n+ 1). Attiecībā uz naturāliem skaitļiem matemātiskās indukcijas principa pierādījums balstās uz faktu, ka jebkurai netukšai naturālo skaitļu apakškopai ir mazākais elements .

Rīsi. četri

No patvaļīgas secības attiecības un patvaļīgas kopas mēs vēlamies izpildīt līdzīgu īpašību: jebkurā aplūkojamās kopas apakškopā ir mazākais elements attiecībā pret aplūkoto secības relāciju . Ja kopa ir lineāri sakārtota un turklāt jebkurā no tās apakškopām var atšķirt mazāko elementu, tad to sauc diezgan kārtīgi.

Apsveriet vairākus labi sakārtotu komplektu piemērus.

0°. Tukšais komplekts Dž.

1°. Iestatīt (Ж).

2°. Komplekts (Ж , (Ж )).

Ņemiet vērā, ka šīs kopas ir sakārtotas atkarībā no dalības attiecības (О ). Ir viegli uzminēt, kā izskatās labi sakārtota trīs elementu kopa šādai secības attiecībai:

3°. (Ж , (Ж ), (Ж ,(Ж )))).

..............................................

n° . (Ж , (Ж ), (Ж ,(Ж )), ...,( n- 2) ° , ( n-1) °) - n-to kopu iegūst, apvienojot iepriekšējo n- 1 komplekts.

Definīcija.Šādā veidā konstruētās kopas sauc par naturālajiem skaitļiem.

Visas šīs kopas veido naturālo skaitļu kopu N. Apsveriet, kāpēc šīs kopas pastāvēšanai ir nepieciešama bezgalības aksioma (sk. bezgalības aksiomu). Iestatīt elementu M sauca vismazāk ja tas ir mazāks par jebkuru citu elementu M. Varat arī definēt minimums elements M: šis ir tāds elements, kas ir mazāks par kuru komplektā M Nē. Svarīgi, ka gadījumā, kad M nav lineāri sakārtoti, jēdzieni vismazākais un minimums elementi ir dažādi. Jo īpaši vienmēr ir vismaz viens vismazākais elements, bet tas neattiecas uz minimālajiem elementiem. Uz att. 4 katrs no elementiem a 15 un a 51 minimums.

daļēji pasūtīts komplekts- matemātisks jēdziens, kas formalizē intuitīvās idejas par sakārtošanu, elementu sakārtošanu noteiktā secībā. Neoficiāli kopa ir daļēji pasūtīta, ja ir norādīts, kuri elementi sekot kuriem (kuriem elementiem vairāk kuras). Vispārīgā gadījumā var izrādīties, ka daži elementu pāri nav saistīti ar attiecību " seko».

Kā abstraktu piemēru mēs varam sniegt trīs elementu kopas apakškopu kolekciju (dotās kopas Būla vērtība), kas sakārtotas pēc iekļaušanas attiecības.

Definīcija un piemēri

pasūtījums, vai daļēja kārtība, kopā ir bināra relācija uz (ko nosaka kāda kopa ), kas atbilst šādiem nosacījumiem:

Tiek izsaukta kopa, uz kuras tiek dota daļēja secība daļēji pasūtīts(Angļu) daļēji pasūtīts komplekts, pozīcija). Lai būtu pilnīgi precīzi, tad daļēji sakārtota kopa ir pāris, kur ir kopa un ir daļēja secība attiecībā uz .

Terminoloģija un apzīmējumi

Daļējas kārtības attiecību parasti apzīmē ar simbolu pēc analoģijas ar attiecību "mazāks par vai vienāds ar" reālo skaitļu kopā. Šajā gadījumā, ja , tad mēs sakām, ka elements nepārsniedz, vai ko padotais .

Ja un , tad rakstiet un sakiet to mazāk, vai ko stingri pakļauts .

Dažreiz, lai atšķirtu patvaļīgu secību noteiktā kopā no zināmās attiecības “mazāks par vai vienāds” reālo skaitļu kopā, un vietā attiecīgi tiek izmantoti speciālie simboli un.

Stingra un nestingra kārtība

tad mēs iegūstam definīciju stingri, vai antirefleksīvā kārtība.

Ja ir nestingra secība kopā , tad relācija , kas definēta kā:

ir stingrs rīkojums par . Un otrādi, ja ir stingra kārtība, tad attiecība definēta kā

ir nestingra kārtība.

Tāpēc viss ir viens un tas pats – noteikt nestingru kārtību filmēšanas laukumā, vai stingru kārtību. Rezultāts ir tāda pati struktūra. Atšķirība ir tikai terminoloģijā un apzīmējumos.

Piemēri

Ieviesīsim secību attiecībā uz sekojošu: , ja nevienlīdzība attiecas uz visiem . Acīmredzot ieviestā attiecība patiešām ir daļēja kārtība.

Saistītās definīcijas

Nesalīdzināmi elementi

Ja un ir reāli skaitļi, tad spēkā ir tikai viena no šīm relācijām:

Ja un ir patvaļīgas daļēji sakārtotas kopas elementi, tad pastāv ceturtā loģiskā iespēja: neviena no norādītajām trim attiecībām nav izpildīta. Šajā gadījumā elementi tiek saukti nesalīdzināms. Piemēram, ja ir reālās vērtības funkciju kopa segmentā , tad elementi un būs nesalīdzināmi. Nesalīdzināmu elementu pastāvēšanas iespēja izskaidro termina nozīmi "daļēji pasūtīts komplekts".

Minimālais/maksimālais un mazākais/lielākais elements

Sakarā ar to, ka daļēji sakārtotā komplektā var būt nesalīdzināmu elementu pāri, tiek ieviestas divas dažādas definīcijas: minimālais elements un mazākais elements.

Elementu sauc minimāls(Angļu) minimālais elements), ja elements neeksistē. Citiem vārdiem sakot, ir minimālais elements, ja jebkuram elementam vai nu , vai , vai un ir nesalīdzināmi. Elementu sauc vismazāk(Angļu) mazākais elements, apakšējā robeža (pret augšējo robežu) ), ja nevienādība attiecas uz jebkuru elementu. Acīmredzot, arī jebkurš mazākais elements ir minimāls, bet otrādi vispārējā gadījumā nav: minimālais elements var nebūt mazākais, ja ir elementi, kas nav salīdzināmi ar .

Acīmredzot, ja komplektā ir mazākais elements, tad tas ir unikāls. Bet var būt vairāki minimālie elementi. Kā piemēru apsveriet naturālu skaitļu kopu bez vienības, kas sakārtota pēc dalāmības attiecības. Šeit minimālie elementi būs pirmskaitļi, bet mazākais elements neeksistē.

Jēdzieni maksimums(Angļu) maksimālais elements) un lielākais(Angļu) lielākais elements) elementi.

Augšējā un apakšējā seja

Ļaut ir daļēji sakārtotas kopas apakškopa. Elementu sauc augšējā seja(Angļu) augšējā robeža), ja kāds elements nepārsniedz . Jēdziens apakšējā seja(Angļu) apakšējā robeža) komplekti.

Jebkurš elements, kas ir lielāks par kādu augšējo virsmu, būs arī augšējā virsma. Un jebkurš elements, kas ir mazāks par kādu infimum, arī būs infimums. Šie apsvērumi noved pie jēdzienu ieviešanas vismaz augšējo seju(Angļu) zemākā augšējā robeža) un lielākā apakšējā seja(Angļu) lielākā apakšējā robeža).

Augšējais un apakšējais komplekts

Daļēji pasūtīta komplekta elementam top komplekts(Angļu) augšējais komplekts, sajukums) ir visu elementu kopa, pirms kuras ir ().

Pilns daļēji pasūtīts komplekts(Angļu) pabeigts daļēji pasūtīts, ω-pilnīgs daļēji pasūtīts ) ir daļēji pasūtīts komplekts, kuram ir apakšā ir vienīgais elements, kas ir pirms jebkura cita elementa un kura katrai virzītajai apakškopai ir precīza augšējā robeža. λ-aprēķinos un datorzinātnēs tiek izmantotas pilnīgas daļēji sakārtotas kopas, jo īpaši uz tām tiek ieviesta Skota topoloģija, uz kuras pamata tiek veidots konsekvents λ-aprēķinu un aprēķinu denotācijas semantikas modelis. Īpašs pilnīgas daļēji sakārtotas kopas gadījums ir pilns režģis - ja kādai apakškopai, kas nav obligāti virzīta, ir vismazākā augšējā robeža, tad tā izrādās pilnīgs režģis.

Sakārtota kopa ir pilnīga daļēji sakārtota kopa tad un tikai tad, ja katrai funkcijai, kas ir monotoniska attiecībā uz secību (), ir vismaz viena

Definīcija un piemēri

Terminoloģija un apzīmējumi

Stingra un nestingra kārtība

Piemēri

Saistītās definīcijas

Nesalīdzināmi elementi

Minimālais/maksimālais un mazākais/lielākais elements

Augšējā un apakšējā seja

Īpaši daļēji pasūtītu komplektu veidi

Lineāri sakārtoti komplekti

Labi pasūtīti komplekti

Teorēmas par daļēji sakārtotām kopām

Piezīmes

Literatūra

Skatīt arī

Skatīties vērtība Labi pasūtīts komplekts citās vārdnīcās

IV Jaščenko Kopu teorijas paradoksi

8. Labi pasūtīti komplekti

Definīcija un piemēri

Terminoloģija un apzīmējumi

Stingra un nestingra kārtība

Piemēri

Saistītās definīcijas

Nesalīdzināmi elementi

Minimālais/maksimālais un mazākais/lielākais elements

Augšējā un apakšējā seja

Augšējais un apakšējais komplekts

Saistīts saturs: