تعریف 1.7.اجازه دهید ( آ, ) و ( ب, ) – گروه ها. نمایش دادن  : آ  ب تماس گرفت هممورفیسم گروهیاگر عملیات را حفظ کند، یعنی.  ایکس, y  آ  (ایکس  y) =  (ایکس) (y).

تعریف 1.8.اگر یک (آ, + ,  ) و ( ب, , ) – حلقه ها، سپس نقشه برداری  : آ  ب تماس گرفت هممورفیسم حلقهاگر هر دو عملیات را حفظ کند، یعنی.

 ایکس,yآ (x+y) =  (ایکس)  (y), ایکس, y آ (ایکس y) =  (ایکس)   (y).

تعریف 1.9.هممورفیسم تزریقی نامیده می شود تک شکلی هایا سرمایه گذاری هاهممورفیسم های ذهنی – epimorphismsیا پوشش ها، و دوطرفه ایزومورفیسم ها.

تعریف 1.10.اگر هممورفیسم گروه ها یا حلقه ها وجود داشته باشد  : ولی ب، سپس گروه ها یا حلقه ها ولی, ATتماس گرفت هم شکل.

معنای هم شکلی این است که چنین تناظری را بین عناصر اشیاء هم شکل برقرار می کند، که نشان می دهد از نظر عملیات جبری حفظ شده، اشیاء هم شکل غیرقابل تشخیص هستند.

مثال: 1.ایزومورفیسم هویت من: آ  آ , ایکس  آ من (ایکس) = ایکس. (آ – گروه یا حلقه).

2. واحدیا خالی epimorphism: اگر E = {ه} – شی تک تن (گروه هویت یا حلقه صفر)، سپس برای هر گروه ( آ, ) یا یک حلقه، یک epimorphism O تعریف شده است : آ  E,  ایکس  آ O (ایکس) = ه.

3. تعبیه های طبیعی گروه ها و حلقه ها: ز س  آر  سی.

خواص هممورفیسم ها

اگر یک  : (آ,  )  (ب,  ) – پس هممورفیسم گروهی

1 0 .  (ه آ) = ه ب , آن ها  یک عنصر را به یک عنصر واحد تبدیل می کند.

2 0 .  آ  آ  (آ – 1) =  (آ) – 1 , آن ها  عنصر معکوس را به آبرعکس  ( آ).

سی . در مورد هممورفیسم حلقه  : (آ, + ,  )  (ب,  ,  ) ما گرفتیم  (0 ولی) = 0 AT ,  (– آ) = –  (آ).

4 0 . برای هممورفیسم حلقه  : (آ, +, )  (ب, , ) درست:

 ایکس, y  آ  (ایکس – y) =  (ایکس) –  (y).

5 0 . هممورفیسم میدانی  : (آ, + ,  )  (ب,  ,  ) یا پوچ یا تودرتو.

60. اگر  : u  V و  : V  w دو هم شکل گروهی یا حلقه ای باشند، ترکیب آنها  ○  : u  w هم شکل گروهی یا حلقه ای است.

70. اگر  : V  w ایزومورفیسم گروه ها یا حلقه ها باشد، نگاشت معکوس  –1: w  V نیز هم شکلی از گروه ها یا حلقه ها است. مفهوم و ایده ایزومورفیسم در ریاضیات مدرن

ایزومورفیسم (یا ایزومورفیسم) یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مدرن است. دو جسم (یا ساختار) ریاضی از یک نوع، هم‌شکل نامیده می‌شوند، اگر یک نگاشت یک به یک از یکی از آنها بر دیگری وجود داشته باشد، به طوری که آن و معکوس آن ساختار اشیاء را حفظ کنند، یعنی. عناصری که در یک رابطه هستند به عناصری که در رابطه متناظر هستند ترجمه می شوند.

اشیاء ایزومورف ممکن است ماهیت متفاوتی از عناصر و روابط بین آنها داشته باشند، اما دقیقاً ساختار انتزاعی یکسانی دارند، آنها به عنوان کپی از یکدیگر عمل می کنند. ایزومورفیسم یک «برابری انتزاعی» از اشیاء از همان نوع است. به عنوان مثال، گروه افزودنی کلاس های باقیمانده modulo n نسبت به گروه ضربی ریشه های پیچیده هم شکل است. nدرجه ام از 1.

رابطه ایزومورفیسم در هر کلاسی از اشیاء ریاضی از همان نوع، که یک رابطه هم ارزی است، کلاس اصلی اشیاء را به کلاس های هم ریختی تقسیم می کند - کلاس هایی از اشیاء هم شکل جفتی. با انتخاب یک شی در هر کلاس ایزومورفیسم، یک نمای کلی انتزاعی کامل از این کلاس از اشیاء ریاضی بدست می آوریم. ایده ایزومورفیسم نمایش یا توصیف اشیاء یک کلاس معین است تا ایزومورفیسم

برای هر کلاس داده شده از اشیاء، وجود دارد مشکل ایزومورفیسم. آیا دو شی دلخواه از یک کلاس معین هم شکل هستند؟ چگونه معلوم می شود؟ برای اثبات هم شکلی دو جسم، قاعدتاً بین آنها هم شکلی خاصی ساخته می شود. یا ثابت شده است که هر دو شیء نسبت به جسم سومی هم شکل هستند. برای بررسی اینکه دو شی هم شکل نیستند، کافی است یک خاصیت انتزاعی را مشخص کنیم که یکی از اشیاء دارد اما دیگری ندارد.

روش 11. Yu.M. Kolyagin بین دو نوع کار فوق برنامه در ریاضیات تمایز قائل می شود.

با دانش آموزانی که در مطالعه مطالب برنامه از دیگران عقب هستند کار کنید. دروس اضافی در ریاضیات

کار با دانش آموزانی که به ریاضیات علاقه مند هستند.

اما کار نوع سومی هم وجود دارد.

کار با دانش آموزان برای ایجاد علاقه به یادگیری ریاضیات.

اشکال زیر برای کارهای فوق برنامه وجود دارد:

دایره ریاضی.

اختیاری.

مسابقات المپیاد، آزمونها.

المپیادهای ریاضی

بحث های ریاضی

هفته ریاضی

چاپ ریاضی مدرسه و کلاس درس.

ساخت مدل های ریاضی

گشت و گذارهای ریاضی

این فرم ها اغلب با هم تلاقی می کنند و بنابراین ترسیم مرزهای واضح بین آنها دشوار است. علاوه بر این، عناصر بسیاری از اشکال را می توان در سازماندهی کار بر روی هر یک از آنها استفاده کرد. به عنوان مثال هنگام برگزاری یک شب ریاضی می توانید از مسابقات، مسابقه، گزارش و ... استفاده کنید.

مراحل سازماندهی

مقدماتی

سازمانی

برانگیختن علاقه به فعالیت های فوق برنامه؛

جذب برای شرکت در رویدادهای عمومی و مسابقات فردی؛

اموزشی

کمک به غلبه بر مشکلات؛

حمایت از علاقه در حال ظهور به فعالیت های اضافی؛

تمایل به شرکت در خودآموزی ریاضی

پایه ای

ایجاد پایگاهی برای هر دانش آموز برای موفقیت شخصی بیشتر؛

کمک به دانش آموزان در درک اهمیت اجتماعی، عملی و شخصی فعالیت های فوق برنامه؛

ایجاد انگیزه مثبت برای شرکت در فعالیت های فوق برنامه

نهایی

برای انجام تشخیص و بازتاب فعالیت های فوق برنامه؛

جمع بندی و به دانش آموزانی که مشارکت فعال داشتند، پاداش دهید

به طور خلاصه به مسئله هممورفیسم حلقه ها و میدان ها توجه کنید.

اجازه دهید آر 1 = (R 1، +، ⋅، 0, 1 ) و آر 2 = (R 2، +، ⋅، 0, 1 ) - حلقه.

تعریف 2.9.نگاشت f: R 1 → R 2 نامیده می شود هممورفیسم حلقه(حلقه R 1 را به حلقه R 1) اگر f(x + y) = f(x) + f(y)، f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) برای هر x، y ∈ R 1، یعنی تصویر مجموع و حاصلضرب هر دو عنصر از حلقه R 1 در زیر نگاشت f به ترتیب با مجموع و حاصلضرب تصاویر آنها در حلقه R 2 برابر است.

اگر یک نگاشت f سوجکتیو باشد (به ترتیب دوجکتیو)، آنگاه نامیده می شود epimorphism (به ترتیب ایزومورفیسم ) حلقه ها (حلقه آر هر حلقه 1 عدد آر 2)

مثال 2.25.در نظر گرفتن آر 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) حلقه اعداد صحیح است - و ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) حلقه باقیمانده مدول k است. ما یک نگاشت f: ℤ → ℤ k را به صورت زیر تعریف می کنیم: برای هر عدد صحیح m، تصویر f(m) برابر است با باقیمانده تقسیم m بر k. قبلاً ثابت کردیم (به مثال 2.21 مراجعه کنید) که f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n) برای هر عدد صحیح m و n. با استدلال مشابه، می‌توانیم نشان دهیم که برای هر نوع عدد صحیح، برابری f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n) نیز صادق است. از آنجایی که نگاشت f Surjective است، نتیجه می‌گیریم که یک هم شکلی از حلقه اعداد صحیح بر روی حلقه ℤ k باقیمانده مدول k است. #

بدون اثبات، برخی از قضایای هممورفیسم ها و هم شکلی های حلقه ها (و میدان ها) را فرموله می کنیم. همه این ادعاها را می توان با قیاس با قضایای مربوطه در مورد هممورفیسم های گروهی و هم شکلی ها اثبات کرد.

قضیه 2.20.اجازه دهید آر 1 و آر 2 - حلقه های دلخواه. اگر f: آر 1 → آر پس 2 یک هممورفیسم است

1. تصویر حلقه صفر آر 1 در زیر نقشه برداری f صفر حلقه است آر 2، یعنی f( 0 ) = 0 ;
2. تصویر واحد حلقه آر 1 در زیر نقشه برداری f هویت حلقه است آر 2، یعنی f( 1 ) = 1 ;
3. برای هر عنصر x حلقه آر 1 تصویر عنصر مقابل عنصر x برابر با عنصر مقابل تصویر عنصر x است، یعنی. f(-x) = -f(x);
4. اگر حلقه می شود آر 1 و آر 1 فیلدها هستند، سپس برای هر عنصر x از حلقه آر 1 تصویر عنصر معکوس عنصر x با ضرب برابر است با عنصر معکوس به تصویر عنصر x، یعنی. f(x -1) = -1

قضیه 2.21. اگر f هممورفیسم حلقه باشد آر در رینگ ک و g هممورفیسم حلقه است ک در رینگ L ، سپس ترکیب نگاشتها f॰g هم شکلی از حلقه است آر ، وارد رینگ شد L .

قضیه 2.22.اگر f: آر 1 → آر 2 - ایزومورفیسم حلقه آر هر حلقه 1 عدد آر 2، سپس نگاشت f-1 هم شکلی از حلقه است آر هر حلقه 2 عدد آر 1 . #

همانطور که در مورد گروه ها، مفاهیم یک تصویر هم شکل از یک حلقه و حلقه های هم شکل تعریف شده است. یعنی حلقه به تصویر همومورفیک حلقه نامیده می شود آر اگر هممورفیسم حلقه وجود داشته باشد آر روی حلقه ک . دو حلقه آر و ک ایزومورف نامیده می شود و می نویسد آر ≅ ک اگر ایزومورفیسم یکی از آنها به دیگری وجود داشته باشد.

بنابراین، برای مثال، حلقه ای از باقیمانده های مدول k تصویری هم شکل از حلقه اعداد صحیح تحت هم شکلی است که توسط نقشه ای که به هر عدد صحیح m باقی مانده تقسیم m بر k را اختصاص می دهد.

یک مثال جالب از هم ریختی میدان را در نظر بگیرید.

مثال 2.26. مانند مثال 2.22، بیایید عدد مختلط a + bi را به ماتریس f(a + bi) = اختصاص دهیم. ما یک نگاشت f بدست می آوریم که همانطور که قبلاً ثابت شد یک تزریق است و a(0) = a(0 + 0 ⋅ i) = 0 که 0 ماتریس صفر است. توجه داشته باشید که از آنجایی که تعیین کننده یک ماتریس از این نوع 2 + b 2 است، در بین همه این ماتریس ها، فقط صفر یک دارای تعیین کننده صفر خواهد بود.

علاوه بر این، به راحتی می توان بررسی کرد که مجموعه ای از این ماتریس ها تحت عملیات جمع و ضرب ماتریس ها بسته است، (همانطور که قبلا ذکر شد) ماتریس های صفر و هویت، و همچنین، همراه با هر ماتریس A، ماتریس -A وجود دارد. و همراه با هر ماتریس غیر صفر، ماتریس معکوس به آن. به این معنی که مجموعه ماتریس های شکل , a, b, ∈ ℝ با عملیات جمع و ضرب ماتریس یک فیلد تشکیل می دهد. آن را با M (a,b) نشان دهید 2 .

از مثال 2.22 چنین بر می آید که گروه ضربی میدان اعداد مختلط با گروه ضربی میدان M (a, b) هم شکل است. 2 . زیرا

f[(a+bi) + (c+di)] = f((a+c) + (b+d)i] =

F(a+bi) + f(c+di)،

سپس گروه جمعی میدان اعداد مختلط با گروه جمعی میدان M (a,b) هم شکل است. 2 . بنابراین، دریافتیم که میدان اعداد مختلط با میدان ماتریس های M (a,b) هم شکل است. 2 . این ایزومورفیسم زیربنای نمایش ماتریسی جبر اعداد مختلط است که برای اجرای رایانه ای این جبر مهم است.

تعریف 34.زیر مجموعه غیر خالی اچحلقه کتماس گرفت زیر حلقهحلقه ک، اگر اچیک حلقه با توجه به همان عملیات یک حلقه است ک.

قضیه 9(معیار فرعی).

اجازه دهید ک- حلقه، H-زیر مجموعه غیر خالی K. Hحلقه فرعی حلقه است کاگر و فقط در صورت رعایت شرایط زیر:

1) برای هر h1, h2∈اچ (h1-h2)∈اچ;

2) برای هر h1, h2∈H h 1 ⋅h 2∈اچ.

اثباتنیاز داشتن. اجازه دهید H-زیر حلقه ک.سپس اچیک حلقه با توجه به عملیات مشابه است ک.به معنای، اچتحت عمل جمع و ضرب بسته می شود، یعنی شرط 2 برآورده می شود. علاوه بر این، برای هر h1, h2∈اچ∃ -h 2∈اچو h1+(-h 2)=h1-h2∈اچ.

کفایت. اجازه دهید شرایط 1) و 2) برآورده شود. این را ثابت کنیم H -زیر حلقه ک.طبق تعریف 34، بررسی آن کافی است H -حلقه.

از آنجایی که شرط 1) با قضیه 7 برآورده می شود. اچزیر گروهی از گروه افزودنی است ک. علاوه بر این، از آنجایی که عملیات جمع بر روی تبدیل است ک، سپس در اچعملیات "+" نیز جابجایی است. در نتیجه، اچیک گروه آبلی افزایشی است.

بعد، در کقوانین توزیعی رعایت می شود و اچ⊆ک. بنابراین در اچقوانین توزیعی نیز وجود دارد. بنابراین، ما نشان دادیم که اچیک حلقه است و بنابراین اچ- حلقه زیرین ک.

قضیه ثابت شده است.

تعریف 35.نمایش دادن φ حلقه کدر رینگ کتماس گرفت نقشه برداری هم شکلیا هم شکلیدر صورت رعایت 2 شرط:

1) برای هر آ, ب∈K φ(a+b)=φ (آ)+φ (ب);

2) برای هر آ, ب∈K φ(a⋅b)=φ (آ)⋅φ (ب).

تبصره 10.تعاریف تک شکلی، epimorphism، isomorphism، endomorphism، automorphism حلقه ها به طور مشابه با تعاریف مربوطه برای گروه ها فرموله شده است.

تبصره 11.رابطه ایزومورفیسم در مجموعه همه حلقه ها یک رابطه هم ارزی است که مجموعه داده شده را به کلاس های غیر متقاطع - کلاس های هم ارزی تقسیم می کند. یک کلاس شامل آن دسته و تنها حلقه هایی می شود که با یکدیگر هم شکل هستند. حلقه های ایزومورف نیز همین ویژگی ها را دارند. بنابراین از نظر جبری قابل تشخیص نیستند.

8. میدان.

پایان کار -

این موضوع متعلق به:

عناصر نظریه مجموعه ها مفهوم مجموعه. زیرمجموعه. عملیات روی مجموعه ها

در درس ریاضی مدرسه عملیات اعداد در نظر گرفته شد در همان زمان تعدادی از خصوصیات این عملیات ایجاد شد.. در کنار عملیات اعداد، درس مدرسه نیز در نظر گرفته شد و .. هدف اصلی درس جبر مطالعه جبرها و سیستم های جبری است.

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

توییت

تمامی موضوعات این بخش:

نمودارهای اویلر-ون
چه در زندگی روزمره و چه در تحقیقات علمی، اغلب لازم است مجموعه هایی از اشیا، سیستم های اشیاء و غیره را در نظر بگیریم. در همه موارد، فرض بر این است که برخی

ویژگی های عملیات مجموعه
طبق تعریف 1، مجموعه های A و B برابر هستند اگر و فقط اگر A⊆B و B⊆A. قضیه 1. اجازه دهید

محصول مستقیم (دکارتی) مجموعه ها
تعریف 11. حاصلضرب مستقیم (دکارتی) مجموعه های A و B مجموعه ای است که با AB نشان داده می شود (بخوانید

روابط دودویی بین مجموعه ها
تعریف 14. هر مجموعه ای از زوج های مرتب شده را یک رابطه باینری می نامند. در ریاضیات، هنگام در نظر گرفتن رابطه بین اشیاء، از اصطلاح "رابطه" استفاده می شود. مثال ها

مجموعه فاکتور
تعریف 27. یک رابطه باینری R در مجموعه A، اگر بازتابی، متقارن و متعدی در مجموعه A باشد، یک رابطه هم ارزی نامیده می شود.

مجموعه سفارش داده شده
تعریف 30. یک رابطه باینری R در مجموعه A در صورتی که ضد متقارن و متعدی در A باشد، یک رابطه مرتبه نامیده می شود. تعریف 31. Bi

عملکرد به عنوان رابطه دودویی
تعریف 41. یک رابطه دودویی f بین مجموعه های A و B را یک رابطه تابعی می نامند اگر از (a,b)

قضیه تداعی برای حاصلضرب توابع
تعریف 50. فرض کنید f: XY، g: YZ توابع باشند. کار کردن

نقشه برداری برگشت پذیر
تعریف 52. یک نگاشت یکسان (یا هویت) نامیده می شود اگر

معیار برگشت پذیری تابع
قضیه 5. یک تابع باشد. تابع f معکوس f - beat است

روش استقراء ریاضی
هر عدد طبیعی را می توان از دو منظر دید. به عنوان مثال، 3-3 (مقدار)، 3-سوم (سفارش). در درس جبر، نظریه ترتیبی اعداد طبیعی مورد بررسی قرار می گیرد. در مجموعه ℕ سی سی

ویژگی های عملیات باینری
تعریف 1. عملیات جبری باینری بر روی یک مجموعه غیر خالی M قانون یا قاعده ای است که طبق آن هر دو عنصر از مجموعه M

نیمه گروهی با کاهش
تعریف 10. به مجموعه غیر خالی M که عملیات جبری دودویی «∗» بر روی آن تعریف شده است، گروهی نامیده می شود. نشان داده شده است . مطابق

ساده ترین ویژگی های گروه ها
تعریف 14. یک مجموعه غیر خالی G بسته به عمل جبری دودویی "∗" گروه نامیده می شود اگر بدیهیات زیر (بدیهیات گروهی) برقرار باشد:

زیرگروه. معیار زیر گروه
تعریف 20. یک زیرمجموعه غیر خالی H از یک گروه G، در صورتی که H یک گروه با توجه به همان عملیات گروه G باشد، زیرگروهی از گروه G نامیده می شود.

هممورفیسم ها و ایزومورفیسم های گروه ها
قضیه 8. فرض کنید (Hi | i∈I) مجموعه ای از زیر گروه های گروه G باشد. سپس A=i

ساده ترین خواص حلقه ها
تعریف 27. یک مجموعه غیر خالی K با عملیات جبری دوتایی جمع و ضرب تعریف شده بر روی آن حلقه نامیده می شود اگر بدیهیات زیر برآورده شوند (ac

ساده ترین خواص میدان
تعریف 36. مجموعه P حاوی حداقل دو عنصر، بسته شده تحت عملیات "+" و "⋅"، در صورتی که شرایط زیر وجود داشته باشد، یک فیلد نامیده می شود: 1) P

ایزومورفیسم میدانی
تعریف 37. یک زیرمجموعه غیر خالی H از یک فیلد P که حاوی حداقل دو عنصر باشد، در صورتی که H فیلدی نسبت به m باشد، زیر فیلد P نامیده می شود.

فیلدهای اعداد مختلط
در فیلد ℝ معادله ای به شکل x2+1=0 هیچ جوابی ندارد. بنابراین، ساخت میدانی ضروری می شود که باشد

عدد مختلط
بگذارید z=(a, b)∈ℂ و (x, 0)=x برای هر x∈ℝ. برای عدد مختلط z=(a, b) شکل دیگری بدست می آوریم

عدد مختلط
بگذارید z=a+bi یک عدد مختلط، a، b∈ℝ باشد. اجازه دهید عدد z را به عنوان نقطه ای از صفحه M(a, b) نشان دهیم.

به صورت مثلثاتی
قضیه 4. هنگام ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، مدول های آنها ضرب شده و آرگومان ها اضافه می شوند. اثبات اجازه دهید z1

فرمول De Moivre
جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد مختلط را می توان به راحتی به صورت جبری انجام داد. با این حال، افزایش به توان و استخراج ریشه درجه n≥3

فرمول De Moivre
تعریف 11. اجازه دهید n∈ℕ. ریشه n ام یک عدد مختلط z یک عدد مختلط z1 است به طوری که z1

ریشه های بدوی
با قضیه 7، ریشه n وحدت دقیقاً n مقدار دارد. از آنجایی که 1=1⋅(cos 0+isin 0)، پس،

حلقه چند جمله ای در یک متغیر
از یک دوره مدرسه در ریاضیات و از یک دوره در تجزیه و تحلیل ریاضی، مشخص شده است که یک چند جمله ای یک تابع منطقی کامل به شکل f(x)=a0+a1x+a2 است.

ویژگی های درجه چند جمله ای
تعریف 19. فرض کنید K یک حلقه تداعی- تعویضی با هویت باشد، (

بالاتر از ناحیه یکپارچگی
قضیه 13. اگر K یک ناحیه یکپارچگی باشد، K[x] یک ناحیه یکپارچگی است. اثبات بگذارید K دامنه یکپارچگی باشد. بگذارید این را نشان دهیم

ماتریس گام
تعریف 10. یک ماتریس m × n بر روی یک فیلد P یک جدول مستطیل شکل است که از n ردیف و m ستون به شکل زیر تشکیل شده است:

حذف متوالی مجهولات
(روش گاوس). یکی از روشهای اصلی حل معادلات خطی را در نظر بگیرید که به آن روش حذف متوالی مجهولات می گویند.

و خواص اصلی آنها
1. اضافه ماتریس. تعریف 16. فرض کنید A=(aij)، B=(bij) ماتریس های m×n روی فیلد P باشند.

معادلات ماتریسی
تعریف 22. ماتریسی از مرتبه n فرم را ماتریس هویت می نامند. نکته 9. اگر الف -

قضیه برابری جایگشت
تعریف 27. اجازه دهید M=(1,2,…,n). یک جایگشت در یک مجموعه M یا یک جایگشت درجه n یک مجموعه M با مکان معینی از عناصر آن است.

تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم
اجازه دهید A \u003d یک ماتریس مرتبه n بر روی فیلد P باشد. از عناصر ماتریس A ما همه محصولات ممکن را ترکیب خواهیم کرد.

رابطه متمم های جبری با صغیر
اجازه دهید Δ = = . تعریف 31. اگر در تعیین Δ cgr

تعیین کننده محصول ماتریسی
قضیه 9. فرض کنید A و B ماتریس هایی از مرتبه n بر روی فیلد P باشند. سپس |AB|=|A|∙|B|، یعنی. تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برابر است با حاصلضرب دترمینان

فرمول محاسبه ماتریس معکوس
قضیه 10. فرض کنید A= یک ماتریس مرتبه n بر روی میدان P باشد. اگر تعیین کننده

فرمول های کرامر
قضیه 11. فرض کنید (1) سیستمی از n معادله خطی با n مجهول در میدان P، А= باشد.

1. ترکیب هممورفیسم های حلقه، هممورفیسم حلقه ای است.

اجازه دهید ، ، حلقه ها هستند ، ، هممورفیسم های حلقه هستند و ترکیبی از توابع است. سپس برای " آ, ب Î ک 1 برابری برآورده می شود:

بنابراین، یک هممورفیسم حلقه است.

2. اگر یک f : ک 1® کپس 2 هممورفیسم حلقه است - زیر حلقه ک 2 .

من f Í ک 2 و . ( ک 1، +) و ( ک 2، ) - گروه ها، fهممورفیسم گروه های افزودنی داده شده است. بنابراین با خاصیت 2 هممورفیسم گروه ها . زیرا برآورده می شود زیرا fهممورفیسم حلقه است. در نتیجه، من f- زیر حلقه ک 2 .

3. اگر یک f : ک 1® کپس 2 هممورفیسم حلقه است و برای .

زیرا f : ک 1® ک 2 هممورفیسمی از گروه های افزودنی مربوط به حلقه ها است ( ک 1، +) و ( ک 2، سپس با خاصیت 2 هممورفیسم های گروهی داریم و برای . اثبات فوری:

با تعریف هممورفیسم، یک عنصر خنثی و متضاد یک گروه افزایشی.

4. اگر یک f : ک 1® ک 2 هممورفیسم حلقه است، سپس برای که در من f، واحد کجاست ک 1 و - واحد من f.

با توجه به اموال 2 . اگر - واحد ک 1، سپس برای ، زیرا fهممورفیسم است،

یعنی یک واحد. برای ، برابری ها و f(آ-یک) · f(آ)، بنابراین، در من f.

5. اگر یک f : ک 1® کپس 2 هممورفیسم حلقه است Ker f- ایده آل دو طرفه ک 1 .

Ker f Í ک 1 و Ker f¹ Æ، زیرا Ker fتوسط اموال 3. برای " آ, ب Î Ker f. بعد، برای " آ Î Ker f, " ک Î ک 1 برآورده شده است، . بنابراین،

مثال 4.6.4.تابع را در نظر بگیرید f : ز/28ز ® ز/28ز، جایی که . fاندومورفیسم حلقه است ( ز/28ز, Å, Ä)، زیرا برای هر , н ز/28ز

می توان دید که برای، از، و همچنین آن من fو Ker fایده آل های اصلی حلقه هستند ز/28ز، به این معنا که من f، جایی که ( ک، 28) = 28/7 = 4 و Ker f، جایی که ( ل، 28) = 28/4 = 7. بنابراین،

من f- زیر حلقه ز/28ز، اما از آنجایی که من f.·

6. هممورفیسم حلقه f : ک 1® ک 2 یک تک شکلی است اگر و فقط اگر .

اثبات از خاصیت 4 هممورفیسم های گروهی به دست می آید، زیرا f : ک 1® ک 2 هم شکلی از گروه های مربوطه است ( ک 1، +) و ( ک 2 , ).

از ویژگی‌های 5 و 6 چنین برمی‌آید که هر هم‌مورفیسم میدان‌های دلخواه یا صفر است یا تزریقی (زیرا میدان هیچ ایده‌آل غیرمعمولی ندارد). هممورفیسم ها به فرد امکان می دهد که زمینه های هم شکل را شناسایی کند، و روابط نظم جزئی را بین زمینه ها ایجاد کند - با گنجاندن.

قضیه 4.6.1 (اولین قضیه در مورد هممورفیسم حلقه).اجازه دهید ( ک، +، ×) یک حلقه است، یک ایده آل دو طرفه است. سپس یک اپی شکلی از حلقه ها وجود دارد که برای آن Ker f = من.

بیایید یک تابع بسازیم که در آن . f– surjection: , , وجود دارد.

برای با توجه به ساخت حلقه فاکتور ( ک/من، Å، Ä). از همین رو fهممورفیسم حلقه است.

برای Ker f. اجازه دهید اما اگر، از آنجایی که طبقات مختلف باقیمانده مدول یک ایده آل دو طرفه قطع نمی شود. یک تناقض معلوم می شود. از این رو، و . بنابراین،

تعریف 4.6.4.هممورفیسم حلقه که برای آن نامیده می شود طبیعی(ابتدایی) هم شکلی.

قضیه 4.6.2 (قضیه دوم در مورد هممورفیسم حلقه).اجازه دهید یک هممورفیسم حلقه باشد داخل رینگ سپس

(خاصیت 2 هممورفیسم حلقه)، (خاصیت 5 هممورفیسم حلقه). بیایید یک تابع بسازیم f: ، جایی که . fیک تابع سوژه است، زیرا برای .

fبه انتخاب نماینده کلاس باقیمانده بستگی ندارد: let آ 1 = a+i، سپس آن را دریافت می کنیم

بگذار پس از آنجایی که در غیر این صورت , که منجر به تناقض می شود که . به معنای، f- تزریق. بنابراین، f: یک تابع دوگانه است.

برای . به معنای، fهممورفیسم حلقه است. به این ترتیب، fایزومورفیسم حلقه ها و .

از آنجایی که برای یک حلقه دلخواه، خاصیت 6 هممورفیسم حلقه و قضیه 4.6.2 دلالت بر این دارد که هر درون شکلی تزریقی یک حلقه یک خودمورفیسم است. به طور خاص، هر آندومورفیسم غیرصفر یک میدان، خودمورفیسم آن است.

مثال 4.6.5.اجازه دهید ( پ, +, ×) – فیلد, ( پ[ایکس]، +، ×) حلقه چندجمله‌ای روی میدان است پ. یک عنصر ثابت میدان است. تابع را در نظر بگیرید که در آن . سپس برابری ها برای:

در نتیجه، yهممورفیسم حلقه است.

توسط نتیجه 1 قضیه 4.4.4 بزوت. yیک surjection است، از آنجایی که برای و . بنابراین، توسط قضیه 4.6.2. ·

توسعه نتیجه 2 از قضیه 4.5.2 قضیه زیر است.

قضیه 4.6.3 (قضیه وجود ریشه).برای هر چند جمله ای تقلیل ناپذیر f(ایکس)Î پ[ایکس] درجه nÎ نیک پسوند میدان وجود دارد پحاوی ریشه این چند جمله ای و هم شکل به میدان است پ[ایکس]/< f(ایکس) >.

حلقه فاکتور ( پ[ایکس]/< f(ایکس) >، M، L) یک میدان مطابق نتیجه 2 قضیه 4.5.2 است. زیر فیلد در پ[ایکس]/< f(ایکس) > هم شکل به میدان پبدیهی است که ایزومورفیسم توسط تابع تعیین می شود y: پ ® پ[ایکس]/< f(ایکس) > کجا y(آ) = که سرمایه گذاری است پکه در پ[ایکس]/< f(ایکس) > همانطور که در مثال 4.6.3 ذکر شد. اجازه دهید f(ایکس) = a n x n +…+آ 1 ایکس+آ 0، و سپس در فیلد پ[ایکس]/< f(ایکس) > . اما از آنجا که =، پس، ریشه چند جمله ای است. اکنون مجموعه را در نظر بگیرید اسبا احراز شرایط: اسÇ پ = Æ, | اس | = | (پ[ایکس]/< f(ایکس) >)\ | ¹ 0 در n> 1. اجازه دهید اف = اسÈ پ، در n = 1 اف = پ. بخواهیم افساختار میدان با گسترش تک شکلی yتا ایزومورفیسم افبر روی پ[ایکس]/< f(ایکس) >. اگر یک ب, جÎ اف، سپس فرض می کنیم

ب+ج = y –1 (y(ب)Å y(ج)), ب× ج = y –1 (y(ب)Ä y(ج)).

با محدودیت در پاین عملیات به ترتیب با عملیات داده شده جمع و ضرب در منطبق است پ، و واضح است که پ- زیر فیلد اف. بگذاریم آ= پس y(f(آ)) = y(a n a n +…+آ 1 آ+آ 0) = = = و، از آنجا که y- ایزومورفیسم افبر روی پ[ایکس]/< f(ایکس) >, f(آ) = 0 در فیلد ( اف، +، ×). از این رو، فیلد ساخته شده گسترش میدان است پحاوی ریشه آچند جمله ای f(ایکس).

نتیجه 1.برای هر چند جمله ای f(ایکس)Î پ[ایکس] درجه nÎ نیک پسوند میدان وجود دارد پحاوی ریشه این چند جمله ای است.

توسط قضیه 4.4.1، چند جمله ای f(ایکس) به طور منحصر به فرد فاکتور می گیرد: f(ایکس) =، که در آن، غیر قابل تقلیل هستند پچند جمله ای با ضرایب پیشرو برابر با 1 - ضریب پیشرو f(ایکس). طبق قضیه 4.6.3، برای هر کدام یک پسوند میدانی وجود دارد پ، حاوی ریشه این چند جمله ای است که ریشه چند جمله ای نیز می باشد f(ایکس) مطابق با نتیجه 1 قضیه 4.4.4 Bezout و خاصیت تقسیم پذیری 3 چند جمله ای ها.

اظهار نظر.این واقعیت که پسوند میدان پحاوی ریشه است آچند جمله ای f(ایکس)Î پ[ایکس]، اصلاً به این معنی نیست که تمام ریشه های این چند جمله ای را در خود دارد.

مثال 4.6.6.چند جمله ای f(ایکس) = ایکس 4-2 غیر قابل کاهش بیش از سبر اساس آیزنشتاین: پ= 2. در زمینه سیاین چند جمله ای چهار ریشه ساده دارد: , و . اما میدان فقط شامل اولین و سوم این ریشه ها است، اما نه هر چهار. ·

نتیجه 2.برای هر چند جمله ای f(ایکس)Î پ[ایکس] درجه nÎ نیک پسوند میدان وجود دارد پحاوی تمام ریشه ها f(ایکس).

اثبات با استقرا در درجه چند جمله ای f(ایکس). اگر یک درجه f= 1، پس f(ایکس) = تبر+ب, آ¹ 0 و - آ –1 بÎ پ- تک ریشه f(ایکس)، به معنای، پرشته مورد نظر است. فرض کنید که این عبارت برای همه چندجمله‌ای‌های درجه‌ای کمتر از یک ثابت است nÎ ن> 1، با ضرایب از زمینه های دلخواه.

بگذار حالا درجه f = n> 1. سپس، توسط نتیجه 1 قضیه 4.6.3، یک پسوند وجود دارد. پ 1 فیلد پ، حاوی ریشه است آچند جمله ای f(ایکس). طبق نتیجه 1 از قضیه 4.4.4 اینچ پ 1 [ایکس] f(ایکس) = (ایکس–آ)g(ایکس)، جایی که g(ایکس)Î پ 1 [ایکس] و درجه گرم = = n-یک با فرضیه استقرایی، یک بسط وجود دارد پ 2 فیلد پ 1 حاوی تمام ریشه ها g(ایکس). زیرا پ 2 پسوند میدان است پو شامل تمام ریشه های چند جمله ای است f(ایکس) (آن شامل آو تمام ریشه های چند جمله ای g(ایکس))، سپس پ 2 پسوند مورد نظر است.

قضیه 4.6.4.بگذارید اپی‌مورفیسم حلقه‌ها باشد، Ker f = من. سپس یک تناظر یک به یک و حفظ شمول بین تمام آرمان های حلقه و آرمان ها وجود دارد. Uحلقه ( ک، +، ×) حاوی من، به طوری که ، .

, Ker f = من. اجازه دهید یک ایده آل دلخواه از حلقه باشد، به ترتیب، چپ، راست، دو طرفه. تصویر معکوس ایده آل را در زیر نقشه برداری در نظر بگیرید f– . سپس برای، ویژگی های زیر باقی می مانند:

1) ، از آنجا که ، از آنجا که ، ایده آل حلقه است ، بنابراین ، ، و ;

2) ، از آنجا که ، از آنجا که ، ایده آل حلقه است ، بنابراین ، و ;

3) ، اگر یک ایده آل چپ است ، ، اگر یک ایده آل راست است ، ، اگر یک ایده آل دو طرفه است ، زیرا به ترتیب , , since و به ترتیب , , و , .

بنابراین، به ترتیب ایده آل چپ، راست، دو طرفه حلقه است ( ک، +، ×) طبق تعریف. چون پس . اگر آرمان های حلقه هستند، و، سپس برای، از این رو، برای، به طوری که، از آنجا که،، بنابراین، . بنابراین، یک تابع تعریف شده بر روی مجموعه همه ایده آل های حلقه وجود دارد که هر ایده آل چپ، راست، دو طرفه را با تصویر معکوس خود در هنگام نمایش مرتبط می کند. f، که به ترتیب ایده آل چپ، راست و دو طرفه حلقه است ( ک، +، ×) حاوی من، و این تابع شامل موارد ایده آل را حفظ می کند. ، سپس برای K و، به ترتیب، چپ، راست، ایده آل های دو طرفه حلقه.

طبق قضیه 4.6.2، یک هم ریختی حلقه ها وجود دارد. با اعمال قضیه 4.6.3، به آن می رسیم fمطابقت یک به یک مورد نیاز بین آرمان های حلقه و حلقه را تعریف می کند، به طوری که، .