Из курса программирования известно, что целое число может быть представлено в памяти компьютера разными способами, в частности, это представление зависит от того, как оно описано: как величина типа integer , или real , или string . При этом в большинстве языков программирования под целыми числами понимаются числа из весьма ограниченного диапазона: типичный случай - от -2 15 = -32768 до 2 15 - 1 = 32767 . Системы компьютерной алгебры имеют дело с большими целыми числами, в частности, любая такая система умеет вычислять и выводить в десятичной записи числа вида 1000 ! (более тысячи знаков).

В данном курсе мы будем рассматривать представление целых чисел в символьном виде и не вдаваться в подробности, какая память отводится для записи одного символа (бит, байт или другая). Наиболее распространенным является представление целых чисел в позиционных системах счисления . Такая система определяется выбором основания счисления, например, 10 . Множество десятичных целых чисел обычно описывается следующим образом:

Выписанное определение целых чисел дает однозначность представления каждого такого числа, и аналогичное определение (только, может быть, с другим основанием) используется в большинстве систем компьютерной алгебры . Пользуясь таким представлением, удобно реализовать арифметические операции над целыми числами. При этом сложение и вычитание являются относительно "дешевыми" операциями, а умножение и деление - "дорогими" . При оценке сложности арифметических операций следует учитывать как стоимость элементарной операции (одноразрядной), так и количество одноразрядных операций для выполнения какого-либо действия над многозначными числами. Сложность умножения и деления обусловлена, в первую очередь, тем, что с ростом длины числа (его записи в какой-либо системе счисления) количество элементарных операций увеличивается по квадратичному закону, в отличие от линейного для сложения и вычитания. К тому же, то, что мы обычно называем алгоритмом деления многозначных чисел, в действительности основано на переборе (часто весьма значительном) возможной очередной цифры частного, и при этом недостаточно просто воспользоваться правилами деления однозначных чисел. При большом основании системы счисления (часто оно может иметь порядок 2 30 ) этот способ малоэффективен.

Пусть - натуральное число (записанное в десятичной системе). Чтобы получить его запись в -ичной системе счисления, можно воспользоваться следующим алгоритмом ( обозначает целую часть числа ):

Дано: A-натуральное число в десятичной системе счисления k > 1-натуральное число Надо: A-запись числа A в k-ичной системе счисления Начало i:= 0 цикл пока A > 0 bi:= A (mod k) A:= i:= i + 1 конец цикла dA:= i - 1 Конец

Для восстановления десятичного числа по последовательности его k -ичной записи используется следующий алгоритм:

Дано: k > 1-натуральное число последовательность цифр, представляющих число A в k-ичной системе Надо: A-запись числа A в десятичной системе счисления Начало A:= 0 цикл пока не конец последовательности b:= очередной элемент последовательности A:= A * k + b конец цикла Конец

1.2. УПРАЖНЕНИЕ. Объясните, почему для перевода числа из десятичной системы в k -ичную используется деление, а для перевода из k -ичной системы в десятичную - умножение.

Перемножая "столбиком" два двузначных числа в десятичной системе счисления, мы выполняем следующие операции:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

т. е. 4 операции умножения одноразрядных чисел, 3 операции сложения и 2 операции умножения на степень основания счисления, которые сводятся к сдвигу. При оценке сложности можно учитывать все элементарные операции, не разделяя их по весам (в данном примере мы имеем 9 элементарных операций). Задача оптимизации алгоритма сводится при данном подходе к минимизации общего числа элементарных операций. Можно, однако, считать, что умножение является более "дорогой" операцией, чем сложение, которое, в свою очередь, "дороже" сдвига. Учитывая только наиболее дорогие операции, мы получаем, что мультипликативная сложность умножения двузначных чисел "столбиком" равна 4.

В параграфе 5 рассматриваются алгоритмы вычисления наибольших общих делителей и оценивается их сложность.

Рассмотренное представление не является единственным каноническим представлением целых чисел. Как уже отмечалось, для выбора канонического представления можно воспользоваться единственностью разложения натурального числа на простые множители. Такое представление целого числа может быть применено в тех задачах, где используются только операции умножения и деления, так как они становятся очень "дешевыми" , однако несоизмеримо возрастает стоимость операций сложения и вычитания, что препятствует использованию подобного представления. В некоторых задачах отказ от канонического представления дает значительный выигрыш в быстродействии, в частности, может использоваться частичное разложение числа на множители. Особенно полезен аналогичный метод при работе не с числами, а с многочленами.

Если известно, что при работе программы все встречающиеся в вычислениях целые числа ограничены по абсолютной величине некоторой заданной константой, то можно использовать для задания таких чисел их систему вычетов по модулям некоторых взаимно простых чисел, произведение которых превосходит упомянутую константу. Вычисления с классами вычетов выполняются, как правило, быстрее, чем арифметика многократной точности. А арифметикой многократной точности при таком подходе нужно пользоваться только при вводе или выводе информации.

Отметим, что наряду с каноническими представлениями в системах компьютерной алгебры используются и другие представления. В частности, желательно, чтобы наличие или отсутствие знака "+" перед целым числом не влияло на восприятие его компьютером. Таким образом, для положительных чисел получается неоднозначное представление, хотя форма отрицательных чисел определена однозначно.

Другое требование - на восприятие числа не должно влиять наличие нулей перед первой значащей цифрой.

1.3. УПРАЖНЕНИЯ.

1. Оценить количество одноразрядных умножений, используемых при умножении столбиком m -значного числа на n - значное.
2. Показать, что два двузначных числа можно перемножить, используя только 3 умножения однозначных чисел и увеличив число сложений.
3. Найти алгоритм деления длинных чисел, не требующий большого перебора при нахождении первой цифры частного.
4. Описать алгоритм перевода натуральных чисел из m -ичной системы счисления в n -ичную.
5. В римской нумерации для записи чисел используются следующие символы: I - единица, V - пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысяча. Символ считается отрицательным, если правее него найдется символ большего числа, и положительным в противном случае. Например, число 1948 в этой системе запишется так: MCMXLVIII . Сформулировать алгоритм перевода числа из римской записи в десятичную и обратно. Реализовать полученный алгоритм на одном из алгоритмических языков (например, C ). Ограничения на исходные данные: 1 <= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Сформулировать алгоритм и написать программу сложения натуральных чисел в римской нумерации.
7. Будем говорить, что мы имеем дело с системой счисления со смешанным или векторным основанием , если нам задан вектор из n натуральных чисел M = (m 1 , . . . ,m n) (осно вание счисления) и запись K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) обозначает число k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n) . . .)) . Написать программу, которая по данным (день недели, часы, минуты, секунды) определяет, сколько секунд прошло с начала недели (понедельник, 0, 0, 0) = 0 , и выполняет обратное преобразование.

Определение:

Суммой и произведением целых р-адических чисел определяемых последовательностями и, называются целые р-адические числа, определяемые соответственно последовательностями и.

Чтобы быть уверенным в корректности этого определения,мы должны доказать,что последовательности и определяют некоторые целые - адические числа и что эти числа зависят только от, а не от выбора определяющих их последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевидной проверки.

Очевидно,что при данном нам определении действий над целыми - адическими числами они образуют коммуникативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел в качестве подкольца.

Делимость целых - адических чисел определяется так же,как и в любом другом кольце: , если существует такое целое - адическое число, что

Для исследования свойств деления важно знать, каковы те целые - адические числа,для которых существуют обратные целые - адические числа. Такие числа называют делителями единицы или единицами. Мы их будем называть - адическими единицами.

Теорема 1 :

Целое - адическое число,определяемое последовательностью, тогда и только тогда является единицей, когда.

Доказательство :

Пусть является единицей, тогда существует такое целое - адическое число, что. Если определяется последовательностью то условие означает,что. В частности, а значит, Обратно, пусть Из условия легко следует, что, так что. Следовательно, для любого n можно найти такое, что будет справедливо сравнение. Так как и, то. Это значит, что последовательность определяет некоторое целое - адическое число Сравнения показывают, что, т.е. что является единицей.

Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число. Будучи рассмотрено как элемент кольца, тогда и только тогда является единицей, когда. Если это условие выполнено,то содержится в. Отсюда следует, что любое целое рациональное b делитсяна такое a в,т.е. что любое рациональное число вида b/a, где a и b целые и, содержится в Рациональные числа такого вида называются -целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный нами результат можно теперь сформулировать так:

Следствие:

Кольцо целых - адических чисел содержит подкольцо, изоморфное кольцу - целых рациональных чисел.

Дробные p-адические числа

Определение :

Дробь вида, k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и, определяют одно и тоже p -адическое число, если в.

Совокупность всех p -адических чисел обозначается p . Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с p на p и превращают p в поле.

2.9. Теорема. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде

где m -- целое число, а -- единица кольца p .

2.10. Теорема. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде

Свойства: Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце p , а кратное p однозначно записывается в виде, где x не кратно p и поэтому обратимо, а. Поэтому любой ненулевой элемент поля p может быть записан в виде, где x не кратно p, а m любое; если m отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Натуральные числа не являются кольцом, так как 0 не является натуральным числом, а также для натуральных чисел нет натуральных противоположных им. Структура, образуемая натуральными числами, называется полукольцом. Более точно,

Полукольцом называется коммутативная полугруппа по сложению и полугруппа по умножению, в которой операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами.

Введём теперь строгие определения целых чисел и докажем их эквивалентность. Исходя из представлений об алгебраических структурах и того факта, что множество натуральных числе является полукольцом, но не является кольцом, можно ввести следующее определение:

Определение 1. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо, содержащее в себе полукольцо натуральных чисел.

Данное определение ничего не сообщает о внешнем виде таких чисел. В школьном курсе целые числа определяются как натуральные числа, им противоположные и 0. Данное определение также можно взять за основу для построения строгого определения.

Определение 2. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются натуральные числа, им противоположные и 0 (и только они).

Теорема 1 . Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство : Обозначим через Z 1 кольцо целых чисел в смысле определения 1, а через Z 2 – кольцо целых чисел в смысле определения 2. В начале докажем, что Z 2 включается в Z 1 . Действительно, все элементы Z 2 это либо натуральные числа (они принадлежат Z 1 , так как Z 1 содержит в себе полукольцо натуральных чисел), либо им противоположные (они тоже принадлежат Z 1 , так как Z 1 кольцо, а значит для каждого элемента этого кольца существует противоположный, и для каждого натурального n Î Z 1 , –n также принадлежит Z 1), либо 0 (0 Î Z 1 , так как Z 1 кольцо, а в любом кольце имеется 0), таким образом, любой элемент из Z 2 принадлежит также и Z 1 , а значит Z 2 Í Z 1 . С другой стороны, Z 2 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, а Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа, то есть не может содержать в себе никакого другого кольца, удовлетворяющего этому условию. Но мы показали, что оно содержит в себе Z 2 , а значит Z 1 = Z 2 . Теорема доказана.

Определение 3. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются все возможные элементы, представимые в виде разности b – а (все возможные решения уравнения a + x = b), где а и b – произвольные натуральные числа.

Теорема 2 . Определение 3 эквивалентно двум предыдущим.

Доказательство : Обозначим через Z 3 кольцо целых чисел в смысле определения 3, а через Z 1 = Z 2 , как и раньше, – кольцо целых чисел в смысле определения 1 и 2 (их равенство уже установлено). Сначала докажем, что Z 3 включается в Z 2 . Действительно, все элементы Z 3 можно представить в виде некоторых разностей натуральных чисел b – а. Для любых двух натуральных чисел по теореме о трихотомии возможно три варианта:

В этом случае разность b – а также является числом натуральным и потому принадлежит Z 2 .

В этом случае разность двух равных между собой элементов обозначим символом 0. Докажем, что это действительно нуль кольца, то есть нейтральный элемент относительно сложения. Для этого воспользуемся определением разности a – a = x ó a = a + x и докажем, что b + x = b для любого натурального b. Для доказательства достаточно прибавить к правой и левой части равенства a = a + x элемент b, а затем воспользоваться законом сокращения (все эти действия можно выполнять исходя из известных свойств колец). Нуль же принадлежит Z 2 .

В этом случае разность a – b есть число натуральное, обозначим

b – a = – (a – b). Докажем, что элементы a – b и b – a действительно являются противоположными, то есть в сумме дают нуль. В самом деле, если обозначить a – b = х, b – a = у, то получим, что a = b + х, b = у + a. Складывая почленно полученные равенства и сокращая b, получим a = х + у + a, то есть х + у = а – а = 0. Таким образом a – b = – (b – a) является числом противоположным натуральному, то есть вновь принадлежит Z 2 . Таким образом, Z 3 Í Z 2 .

С другой стороны Z 3 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, так как любое натуральное число n всегда можно представить как

n = n / – 1 Î Z 3 ,

а значит Z 1 Í Z 3 , так как Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа. Пользуясь уже доказанным фактом, что Z 2 = Z 1 , получаем Z 1 = Z 2 = Z 3 . Теорема доказана.

Хотя на первый взгляд может показаться, что никаких аксиом в перечисленных определениях целых чисел нет, данные определения являются аксиоматическими, так как во всех трёх определениях говорится, что множество целых чисел является кольцом. Поэтому аксиомами в аксиоматической теории целых чисел служат условия из определения кольца.

Докажем, что аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива . Для доказательства необходимо построить модель кольца целых чисел, пользуясь заведомо непротиворечивой теорией (в нашем случае это может быть только аксиоматическая теория натуральных чисел).

Согласно определению 3, каждое целое число представимо в виде разности двух натуральных z = b – а. Сопоставим каждому целому числу z соответствующую пару . Недостатком данного соответствия является его неоднозначность. В частности, числу 2 соответствуют и пара <3, 1 >, и пара <4, 2>, а также множество других. Числу 0 соответствуют и пара <1, 1>, и пара <2,2>, и пара <3, 3>, и так далее. Избежать этой проблемы помогает понятие эквивалентности пар . Будем говорить, что пара эквивалентна паре , если a +d = b + c (обозначение: @ ).

Введённое отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным (доказательство предоставляется читателю).

Как и всякое отношение эквивалентности, данное отношение порождает разбиение множества всевозможных пар натуральных чисел на классы эквивалентности, которые мы будем обозначать как [] (каждый класс состоит из всех пар эквивалентных паре ). Теперь можно каждому целому числу поставить в соответствие вполне определённый класс эквивалентных между собой пар натуральных чисел. Множество таких классов пар натуральных чисел и можно использовать в качестве модели целых чисел. Докажем, что все аксиомы кольца выполняются в этой модели. Для этого необходимо ввести понятия сложения и умножения классов пар. Сделаем это по следующим правилам:

1) [] + [] = [];

2) [] × [] = [].

Покажем, что введенные определения корректны, то есть не зависят от выбора конкретных представителей из классов пар. Иными словами, если эквивалентны пары @ и @ , то эквивалентны и соответствующие суммы и произведения @ , равно как и @ .

Доказательство : Применим определение эквивалентности пар:

@ ó а + b 1 = b + a 1 (1),

@ ó с + d 1 = d + c 1 (2).

Почленно сложив равенства (1) и (2), получим:

а + b 1 + с + d 1 = b + a 1 + d + c 1 .

Все слагаемые в последнем равенстве – натуральные числа, поэтому мы в праве применить коммутативный и ассоциативный законы сложения, что приводит нас к равенству

(а + с) + (b 1 + d 1)= (b + d) + (a 1 + c 1),

которое равносильно условию @ .

Для доказательства корректности умножения, равенство (1) умножим на с, получим:

ас + b 1 с= bс + a 1 с.

Затем перепишем равенство (1) в виде b + a 1 = а + b 1 и умножим на d:

bd + a 1 d = аd + b 1 d.

Почленно сложим полученные равенства:

ас + bd + a 1 d + b 1 с = bс + аd + b 1 d + a 1 с,

что означает, что @ (иными словами, здесь мы доказали, что × @ ,×).

Затем ту же процедуру проделаем с равенством (2), только умножать его будем на а 1 и b 1 . Получим:

а 1 с + а 1 d 1 = а 1 d + а 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 = b 1 с + b 1 d 1 ,

а 1 с + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 d 1 = а 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 c 1 ó

ó @

(здесь мы доказали, что × @ ,×). Пользуясь свойством транзитивности отношения эквивалентности пар, приходим к требуемому равенству @ равносильному условию

× @ ,×.

Таким образом, корректность введённых определений доказана.

Далее непосредственно проверяются все свойства колец: ассоциативный закон сложения и умножения для классов пар, коммутативный закон сложения, дистрибутивные законы. Приведем в качестве примера доказательство ассоциативного закона сложения:

+ ( +) = + = .

Так как все компоненты пар числа натуральные

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

Остальные законы проверяются аналогично (заметим, что полезным приёмом может служить отдельное преобразование левой и правой части требуемого равенства к одному и тому же виду).

Необходимо также доказать наличие нейтрального элемента по сложению. Им может служить класс пар вида [<с, с>]. Действительно,

[] + [] = [] @ [], так как

а + c + b = b + c + a (справедливо для любых натуральных чисел).

Кроме того, для каждого класса пар [] имеется противоположный к нему. Таким классом будет класс []. Действительно,

[] + [] = [] = [] @ [].

Можно также доказать, что введённое множество классов пар есть коммутативное кольцо с единицей (единицей может служить класс пар []), и что все условия определений операций сложения и умножения для натуральных чисел, сохраняются и для их образов в данной модели. В частности, следующий элемент для натуральной пары разумно ввести по правилу:

[] / = [].

Проверим, пользуясь данным правилом, справедливость условий С1 и С2 (из определения сложения натуральных чисел). Условие С1 (а + 1 = а /) в данном случае перепишется в виде:

[] + [] =[] / = []. Действительно,

[] + [] = [] = [], так как

a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + с + a /

(ещё раз напомним, что все компоненты натуральные).

Условие С2 будет иметь вид:

[] + [] / = ([] + []) / .

Преобразуем отдельно левую и правую части данного равенства:

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

Таким образом, мы видим, что левые и правые части равны, значит условие С2 справедливо. Доказательство условия У1 предоставляется читателю. условие У2 является следствием дистрибутивного закона.

Итак, модель кольца целых чисел построена, а, следовательно, аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория натуральных чисел.

Свойства операций над целыми числами :

2) а×(–b) = –a×b = –(ab)

3) – (– a) = a

4) (–a)×(–b) = ab

5) a×(–1) = – a

6) a – b = – b + a = – (b – a)

7) – a – b = – (a +b)

8) (a – b) ×c = ac – bc

9) (a – b) – c = a – (b + c)

10) a – (b – c) = a – b + c.

Доказательства всех свойств повторяют доказательства соответствующих свойств для колец.

1) а + а×0 = а×1 + а×0 = a ×(1 + 0) = a×1 = а, то есть а×0 является нейтральным элементом по сложению.

2) а×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, то есть элемент а×(–b) является противоположным к элементу а×b.

3) (– a) + a = 0 (по определению противоположного элемента). Аналогично (– a) +(– (– a)) = 0. Приравнивая левые части равенств и применяя закон сокращения, получим – (– a) = а.

4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.

5) a×(–1) + а = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0

a×(–1) + а = 0

a×(–1) = –а.

6) По определению разности a – b есть такое число х, что а = х + b. Прибавляя к правой и левой части равенства –b слева и пользуясь коммутативным законом, получаем первое равенство.

– b + a + b – a = –b + b + а – a = 0 + 0 = 0, что доказывает второе равенство.

7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b).

8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc

9) (a – b) – c = х,

a – b = х + c,

a – (b + c) = х, то есть

(a – b) – c = a – (b + c).

10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1×c = = a – b + c.

Задания для самостоятельного решения

№ 2.1. В правом столбце таблицы найти пары эквивалентные парам, приведённым в левом столбце таблицы.

а) <7, 5>	1) <5, 7>
б) <2, 3>	2) <1, 10>
в) <10, 10>	3) <5, 4>
г) <6, 2>	4) <15, 5>
	5) <1, 5>
	6) <9, 9>

Для каждой пары указать ей противоположную.

№ 2.2. Вычислить

а) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; б)[<3, 8>] + [<4, 7>];

в) [<7, 4>] – [<8, 3>]; г) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

д) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; е) [<2, 10>]× [<10, 2>].

№ 2.3. Для модели целых чисел, описанной в данном разделе, проверить коммутативный закон сложения, ассоциативный и коммутативный законы умножения, дистрибутивные законы.

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Мы видели, что действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. При этом для сложения, вычитания и умножения многочленов достаточно трех арифметических действий - деление чисел не понадобилось. Так как сумма, разность и произведение двух действительных чисел снова являются действительными числами, то при сложении, вычитании и умножении многочленов с действительными коэффициентами в результате получаются многочлены с действительными же коэффициентами.

Однако не всегда приходится иметь дело с многочленами, имеющими любые действительные коэффициенты. Возможны случаи, когда по самой сути дела коэффициенты должны иметь лишь целые или лишь рациональные значения. В зависимости от того, какие значения коэффициентов считаются допустимыми, меняются свойства многочленов. Например, если рассматривать многочлены с любыми действительными коэффициентами, то можно разложить на множители:

Если же ограничиться многочленами с целыми коэффициентами, то разложение (1) не имеет смысла и мы должны считать многочлен неразложимым на множители.

Отсюда видно, что теория многочленов существенно зависит от того, какие коэффициенты считаются допустимыми. Далеко не любую совокупность коэффициентов можно принять за допустимую. Например, рассмотрим все многочлены, коэффициенты которых - нечетные целые числа. Ясно, что сумма двух таких многочленов уже не будет многочленом того же типа: ведь сумма нечетных чисел - четное число.

Поставим вопрос: каковы «хорошие» множества коэффициентов? Когда сумма, разность, произведение многочленов с коэффициентами данного типа имеют коэффициенты того же типа? Для ответа на этот вопрос введем понятие числового кольца.

Определение. Непустое множество чисел называется числовым кольцом, если вместе с любыми двумя числами а и оно содержит их сумму, разность и произведение. Это выражают также короче, говоря, что числовое кольцо замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

1) Множество целых чисел является числовым кольцом: сумма, разность и произведение целых чисел - целые числа. Множество же натуральных чисел числовым кольцом не является, так как разность натуральных чисел может быть отрицательной.

2) Множество всех рациональных чисел - числовое кольцо, так как сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны.

3) Образует числовое кольцо и множество всех действительных чисел.

4) Числа вида а где а и целые, образуют числовое кольцо. Это следует из соотношений:

5) Множество нечетных чисел не является числовым кольцом, так как сумма нечетных чисел четна. Множество же четных чисел - числовое кольцо.