Apibrėžimas 1.7. Leisti būti ( A, ) ir ( B, ) – grupės. Ekranas : A B paskambino grupinis homomorfizmas jei ji išsaugo operaciją, t.y. x, y A (x y) = (x) (y).
Apibrėžimas 1.8. Jeigu (A, + , ) ir ( B, , ) – žiedai, tada kartografavimas : A B paskambino žiedo homomorfizmas jei išsaugo abi operacijas, t.y.
x,yA (x+y) = (x) (y), x, y A (x y) = (x) (y).
Apibrėžimas 1.9. Injekciniai homomorfizmai vadinami monomorfizmai arba investicijos, surjektyvūs homomorfizmai – epimorfizmai arba perdangos, ir bijectives izomorfizmai.
Apibrėžimas 1.10. Jei yra grupių ar žiedų homomorfizmas : IR B, tada grupės arba žiedai IR, AT paskambino izomorfinis.
Izomorfizmo prasmė yra ta, kad jis nustato tokį izomorfinių objektų elementų atitikimą, kuris rodo, kad išsaugotų algebrinių operacijų požiūriu izomorfiniai objektai yra neatskiriami.
Pavyzdžiai: 1. Tapatybės izomorfizmas aš: A A , x A aš (x) = x. (A – grupė arba žiedas).
2. Vienetas arba nulinis epimorfizmas: jei E = {e} – vienetinis objektas (tapatybės grupė arba nulinis žiedas), tada bet kuriai grupei ( A, ) arba žiedas, apibrėžiamas epimorfizmas O : A E, x A O (x) = e.
3. Natūralūs grupių ir žiedų įterpimai: Z K R C.
Homomorfizmų savybės
Jeigu : (A, ) (B, ) – grupinis homomorfizmas, tada
1 0 . (e A) = e B , tie. paverčia vieną elementą vienu elementu.
2 0 . a A (a – 1) = (a) – 1 , tie. verčia atvirkštinį elementą į a atvirkščiai į ( a).
trisdešimt . Žiedo homomorfizmo atveju : (A, + , ) (B, , ) mes gauname (0 IR) = 0 AT , (– a) = – (a).
4 0 . Dėl žiedo homomorfizmo : (A, +, ) (B, , ) dešinėje:
x, y A (x – y) = (x) – (y).
5 0 . Lauko homomorfizmas : (A, + , ) (B, , ) arba nulinis, arba lizdas.
60. Jei : u V ir : V w yra du grupiniai arba žiediniai homomorfizmai, tai jų sudėtis ○ : u w yra grupinis arba žiedinis homomorfizmas.
70. Jei : V w yra grupių arba žiedų izomorfizmas, tai atvirkštinis atvaizdavimas –1: w V taip pat yra grupių arba žiedų izomorfizmas. Izomorfizmo samprata ir idėja šiuolaikinėje matematikoje
Izomorfizmas (arba izomorfizmas) yra viena iš pagrindinių šiuolaikinės matematikos sąvokų. Du to paties tipo matematiniai objektai (ar struktūros) vadinami izomorfiniais, jei vienas iš jų yra priskiriamas prie kito taip, kad jis ir jo atvirkštinė dalis išsaugo objektų struktūrą, t.y. elementai, esantys kokiame nors santykyje, paverčiami elementais, kurie yra atitinkamame santykyje.
Izomorfiniai objektai gali turėti skirtingą elementų pobūdį ir tarpusavio santykius, tačiau jie turi lygiai tokią pačią abstrakčią struktūrą, jie tarnauja kaip vienas kito kopijos. Izomorfizmas yra to paties tipo objektų „abstrakčioji lygybė“. Pavyzdžiui, adityvinė likučių klasių grupė modulo n yra izomorfinė kompleksinių šaknų multiplikacinei grupei. n laipsnis iš 1.
Izomorfizmo santykis bet kurioje to paties tipo matematinių objektų klasėje, būdamas ekvivalentiškumo ryšys, suskaido pradinę objektų klasę į izomorfizmo klases – porinių izomorfinių objektų klases. Pasirinkę po vieną objektą kiekvienoje izomorfizmo klasėje, gauname pilną abstrakčią šios matematinių objektų klasės apžvalgą. Izomorfizmo idėja yra atstovauti arba apibūdinti tam tikros klasės objektus iki izomorfizmo.
Kiekvienai nurodytai objektų klasei yra izomorfizmo problema. Ar du savavališki tam tikros klasės objektai yra izomorfiniai? Kaip tai sužinota? Norint įrodyti dviejų objektų izomorfizmą, paprastai tarp jų konstruojamas specifinis izomorfizmas. Arba nustatoma, kad abu objektai yra izomorfiniai kokiam nors trečiajam objektui. Norint patikrinti, ar du objektai nėra izomorfiniai, pakanka nurodyti abstrakčią savybę, kurią turi vienas iš objektų, o kitas – ne.
11 METODAS. Yu.M. Kolyaginas išskiria du užklasinio darbo tipus matematikoje.
Darbas su studentais, atsiliekančiais nuo kitų studijų programos medžiagos, t.y. papildomos matematikos pamokos.
Darbas su studentais, kurie domisi matematika.
Tačiau yra ir trečia darbo rūšis.
Darbas su mokiniais, siekiant ugdyti susidomėjimą mokytis matematikos.
Yra šios užklasinio darbo formos:
Matematinis ratas.
Neprivaloma.
Olimpiados konkursai, viktorinos.
Matematikos olimpiados.
Matematinės diskusijos.
Matematikos savaitė.
Mokyklos ir klasės matematikos spaudinys.
Matematinių modelių kūrimas.
Matematinės ekskursijos.
Šios formos dažnai susikerta, todėl tarp jų sunku nubrėžti aiškias ribas. Be to, organizuojant darbą su bet kuriuo iš jų gali būti naudojami daugelio formų elementai. Pavyzdžiui, rengdami matematikos vakarą, galite naudoti konkursus, konkursus, ataskaitas ir kt.
organizavimo etapai.
Parengiamasis
Organizacinis
kelti susidomėjimą popamokine veikla;
pritraukti dalyvauti viešuose renginiuose ir individualiuose konkursuose;
Didaktinis
padėti įveikti sunkumus;
remti kylantį susidomėjimą papildoma veikla;
noras užsiimti matematine saviugda
Pagrindinis
sukurti kiekvieno mokinio pagrindą tolesnei asmeninei sėkmei;
padėti mokiniams suvokti popamokinės veiklos socialinę, praktinę ir asmeninę reikšmę;
formuoti teigiamą motyvaciją dalyvauti popamokinėje veikloje
Galutinis
atlikti popamokinės veiklos diagnostiką ir refleksiją;
apibendrinti ir apdovanoti aktyviai dalyvavusius mokinius
Labai trumpai apsvarstykite žiedų ir laukų homomorfizmo klausimą.
Leisti būti R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) ir R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - žiedai.
Apibrėžimas 2.9. Vadinamas atvaizdavimas f: R 1 → R 2 žiedo homomorfizmas(žiedai R1 į žiedą R1), jei f(x + y) = f(x) + f(y), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) bet kuriam x, y ∈ R 1 , t.y. bet kurių dviejų žiedo R 1 elementų sumos ir sandaugos vaizdas pagal atvaizdavimą f yra lygus atitinkamai jų atvaizdų sumai ir sandaugai žiede R 2 .
Jei atvaizdavimas f yra surjektyvus (atitinkamai, bijektyvus), tada jis vadinamas epimorfizmas (atitinkamai izomorfizmas ) žiedai (žiedai R 1 už žiedą R 2)
2.25 pavyzdys. Apsvarstykite R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) yra sveikųjų skaičių - žiedas, o ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) yra likučių modulio k žiedas. Mes apibrėžiame atvaizdavimą f: ℤ → ℤ k taip: bet kuriam sveikajam skaičiui m f(m) vaizdas yra lygus likusiai daliai m iš k. Jau anksčiau (žr. 2.21 pavyzdį) įrodėme, kad f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n) bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n. Panašiai argumentuodami galime parodyti, kad bet kuriam sveikojo skaičiaus tipui lygybė f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n) taip pat yra teisinga. Kadangi atvaizdavimas f yra surjektyvus, darome išvadą, kad tai yra sveikųjų skaičių žiedo homomorfizmas su likučių modulo k žiedu ℤ k. #
Be įrodymų suformuluojame kai kurias teoremas apie žiedų (ir laukų) homomorfizmus ir izomorfizmus. Visus šiuos teiginius galima įrodyti pagal analogiją su atitinkamomis teoremomis apie grupių homomorfizmus ir izomorfizmus.
2.20 teorema. Leisti būti R 1 ir R 2 - savavališki žiedai. Jei f: R 1 → R 2 yra homomorfizmas
- nulinio žiedo vaizdas R 1 pagal atvaizdavimą f yra žiedo nulis R 2 , t.y. f( 0 ) = 0 ;
- žiedo vieneto vaizdas R 1 pagal atvaizdavimą f yra žiedo tapatybė R 2 , t.y. f( 1 ) = 1 ;
- kiekvienam žiedo elementui x R 1 priešingo elemento x atvaizdas yra lygus elemento x atvaizdui priešingam elementui, t.y. f(-x) = -f(x);
- jei skamba R 1 ir R 1 yra laukai, tada bet kuriam žiedo elementui x R 1 elemento atvaizdas, atvirkštinis elementui x, daugybos būdu lygus elemento atvirkštiniam elemento x atvaizdui, t.y. f(x -1) = -1
2.21 teorema. Jei f yra žiedo homomorfizmas R ringe K , o g yra žiedo homomorfizmas K ringe L , tada atvaizdų sudėtis f॰g yra žiedo homomorfizmas R , į ringą L .
2.22 teorema. Jei f: R 1 → R 2 - žiedo izomorfizmas R 1 už žiedą R 2 , tada atvaizdavimas f -1 yra žiedo izomorfizmas R 2 už žiedą R 1 . #
Kaip ir grupių atveju, apibrėžiamos homomorfinio žiedo atvaizdo ir izomorfinių žiedų sąvokos. Būtent, žiedas Į vadinamas homomorfiniu žiedo atvaizdu R jei yra žiedo homomorfizmas R ant žiedo K . du žiedai R ir K vadinami izomorfiniais ir rašyti R ≅ K jeigu yra vieno iš jų izomorfizmas su kitu.
Taigi, pavyzdžiui, likučių žiedas modulo k yra homomorfinis sveikųjų skaičių žiedo vaizdas pagal homomorfizmą, pateiktą žemėlapyje, kuris kiekvienam sveikajam skaičiui m priskiria likusią m dalijimo iš k dalį.
Apsvarstykite vieną įdomų lauko izomorfizmo pavyzdį.
2.26 pavyzdys. Kaip ir 2.22 pavyzdyje, kompleksinį skaičių a + bi priskirkime matricai f(a + bi) = . Gauname atvaizdavimą f , kuris, kaip jau buvo įrodyta, yra injekcija, o a(0) = a(0 + 0 ⋅ i) = 0, kur 0 yra nulinė matrica. Atkreipkite dėmesį, kad kadangi tokio tipo matricos determinantas yra 2 + b 2 , tarp visų tokių matricų tik nulinis vienas turės nulinį determinantą.
Be to, nesunku patikrinti, ar tokių matricų rinkinys yra uždarytas atliekant matricų sudėties ir daugybos operacijas, turi (kaip jau buvo pažymėta) nulio ir tapatybės matricas, taip pat kartu su kiekviena matrica A matrica -A. ir kartu su kiekviena nenline matrica jai atvirkštinė matrica. Tai reiškia, kad a, b, ∈ ℝ formos matricų aibė su matricos sudėties ir daugybos operacijomis sudaro lauką. Pažymėkite jį M (a, b) 2 .
Iš 2.22 pavyzdžio matyti, kad kompleksinių skaičių lauko dauginamoji grupė yra izomorfinė lauko M (a,b) dauginamajai grupei. 2 . Nes
f[(a+bi) + (c+di)] = f((a+c) + (b+d)i] =
F(a+bi)+f(c+di),
tada kompleksinių skaičių lauko adityvinė grupė yra izomorfinė lauko M adityvinei grupei (a,b) 2 . Taigi, gauname, kad kompleksinių skaičių laukas yra izomorfinis matricų M (a, b) laukui. 2 . Šis izomorfizmas yra kompleksinių skaičių algebros matricos atvaizdavimo pagrindas, kuris yra svarbus šios algebros kompiuteriniam įgyvendinimui.
34 apibrėžimas. Netuščias poaibis Hžiedai K paskambino subringžiedai K, jei H yra žiedas tų pačių operacijų atžvilgiu kaip ir žiedas K.
9 teorema(subring kriterijus).
Leisti būti K- žiedas, H- netuščias poaibis K. H yra žiedo pogrupis K jei ir tik tenkinamos šios sąlygos:
1) bet kuriam h1, h2∈H (h1-h2)∈H;
2) bet kokiam h1, h2∈H h 1 ⋅h 2∈H.
Įrodymas. Būtinybė. Leisti būti H-žiedo subringas K. Tada H yra žiedas tų pačių operacijų atžvilgiu kaip K. Reiškia, H yra uždarytas pagal sudėties ir daugybos operacijas, tai yra, tenkinama 2) sąlyga. Be to, bet kuriai h1, h2∈H∃ -h 2∈H ir h1+(-h 2)=h1-h2∈H.
Tinkamumas. Tegul tenkinamos 1) ir 2) sąlygos. Įrodykime tai H -žiedo subringas K. Pagal 34 apibrėžimą pakanka tai patikrinti H -žiedas.
Kadangi 1) sąlyga yra įvykdyta, tai pagal 7 teoremą" H yra priedų grupės pogrupis K. Be to, kadangi sudėjimo operacija yra komutacinė K, tada į H operacija „+“ taip pat yra komutacinė. Vadinasi, H yra priedinė Abelio grupė.
Toliau, į K yra laikomasi paskirstymo įstatymų ir H⊆K. Taigi į H galioja ir paskirstymo dėsniai. Taigi mes tai parodėme H yra žiedas, todėl H- žiedo subringas K.
Teorema įrodyta.
35 apibrėžimas. Ekranas φ žiedai K ringe K paskambino homomorfinis kartografavimas arba homomorfizmas jei tenkinamos 2 sąlygos:
1) bet kuriam a, b∈K φ(a+b)=φ (a)+φ (b);
2) bet kokiam a, b∈K φ(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).
10 pastaba.Žiedų monomorfizmo, epimorfizmo, izomorfizmo, endomorfizmo, automorfizmo apibrėžimai formuluojami panašiai kaip ir atitinkami grupių apibrėžimai.
11 pastaba. Izomorfizmo santykis visų žiedų aibėje yra lygiavertiškumo santykis, padalijantis duotą aibę į nesikertančias klases – lygiavertiškumo klases. Į vieną klasę bus įtraukti tie ir tik tie žiedai, kurie yra izomorfiniai vienas su kitu. Izomorfiniai žiedai turi tas pačias savybes. Todėl algebriniu požiūriu jų negalima atskirti.
8. Laukas.
Darbo pabaiga -
Ši tema priklauso:
Aibių teorijos elementai Aibės samprata. Poaibis. Operacijos rinkiniuose
Matematikos mokykliniame kurse buvo svarstomi veiksmai su skaičiais.Tuo pačiu buvo nustatyta nemažai šių veiksmų savybių .. Kartu su operacijomis su skaičiais, mokykliniame kurse taip pat buvo atsižvelgta ir .. Pagrindinis algebros kurso tikslas. yra tyrinėti algebras ir algebrines sistemas.
Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:
Ką darysime su gauta medžiaga:
Jei ši medžiaga jums pasirodė naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:
| tviteryje |
Visos temos šiame skyriuje:
Eulerio-Venno diagramos
Tiek kasdieniame gyvenime, tiek atliekant mokslinius tyrimus dažnai tenka svarstyti apie daiktų rinkinius, daiktų sistemas ir pan. Visais atvejais daroma prielaida, kad kai kurie
Aibės operacijų savybės
Pagal 1 apibrėžimą aibės A ir B yra lygios tada ir tik tada, kai A⊆B ir B⊆A. 1 teorema. Tegu
Tiesioginė (Dekartinė) aibių sandauga
Apibrėžimas 11. Tiesioginė (Dekartinė) aibių A ir B sandauga yra aibė, žymima AB (skaityti
Dvejetainiai ryšiai tarp aibių
Apibrėžimas 14. Bet kuri sutvarkytų porų aibė vadinama dvejetainiu ryšiu. Matematikoje, svarstant santykį tarp objektų, vartojamas terminas „ryšys“. Pavyzdžiai
Faktorių rinkinys
Apibrėžimas 27. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas ekvivalentiškumu, jei jis yra refleksyvus, simetriškas, tranzityvus aibėje A. Def.
užsakytas komplektas
Apibrėžimas 30. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas eilės ryšiu, jei jis yra antisimetriškas ir tranzityvus A. Apibrėžimas 31. Bi
Veikia kaip dvejetainis ryšys
Apibrėžimas 41. Dvejetainis ryšys f tarp aibių A ir B vadinamas funkciniu ryšiu, jei iš (a,b)
Asociatyvumo teorema funkcijų sandaugai
Apibrėžimas 50. Tegul f: XY, g: YZ yra funkcijos. dirbti
Grįžtamasis kartografavimas
Apibrėžimas 52. Atvaizdavimas vadinamas identišku (arba tapatumu), jei
Funkcijos grįžtamumo kriterijus
5 teorema. Tegu yra funkcija. Funkcija f yra apverčiama f – ritmas
Matematinės indukcijos metodas
Į bet kurį natūralųjį skaičių galima žiūrėti dviem požiūriais. Pavyzdžiui, 3-trys (kiekis), 3-trečdaliai (užsakymas). Algebros eigoje nagrinėjama natūraliųjų skaičių eilinė teorija. Filmavimo aikštelėje ℕ cc
Dvejetainių operacijų savybės
Apibrėžimas 1. Dvejetainė algebrinė operacija netuščioje aibėje M yra dėsnis arba taisyklė, pagal kurią bet kurie du aibės M elementai
Pusgrupė su redukcija
Apibrėžimas 10. Netuščia aibė M su joje apibrėžta dvejetaine algebrine operacija "∗" vadinama grupoidu. Žymima
Paprasčiausios grupių savybės
14 apibrėžimas. Netuščia aibė G, uždaryta dvejetainės algebrinės operacijos "∗" atžvilgiu, vadinama grupe, jei galioja šios aksiomos (grupės aksiomos):
Pogrupis. Pogrupio kriterijus
20 apibrėžimas. Netuščias G grupės poaibis H vadinamas grupės G pogrupiu, jei H yra grupė tos pačios operacijos atžvilgiu kaip ir grupė G, ir
Grupių homomorfizmas ir izomorfizmas
8 teorema. Tegu (Hi | i∈I) yra koks nors grupės G pogrupių rinkinys. Tada A=i
Paprasčiausios žiedų savybės
27 apibrėžimas. Netuščia aibė K su joje apibrėžtomis dvejetainėmis algebrinėmis sudėties ir daugybos operacijomis vadinama žiedu, jei tenkinamos šios aksiomos (ac
Paprasčiausios lauko savybės
Apibrėžimas 36. Aibė P, kurioje yra bent du elementai, uždaryta pagal operacijas „+“ ir „⋅“, vadinama lauku, jei tenkinamos šios sąlygos: 1) P
Lauko izomorfizmas
Apibrėžimas 37. Netuščias lauko P poaibis, kuriame yra bent du elementai, vadinamas lauko P polaukiu, jei H yra laukas m atžvilgiu
Sudėtingų skaičių laukai
Lauke ℝ x2+1=0 formos lygtis neturi sprendinių. Todėl tampa būtina sukurti lauką, kuris būtų
kompleksinis skaičius
Tegu z=(a, b)∈ℂ ir (x, 0)=x bet kuriam x∈ℝ. Kompleksiniam skaičiui z=(a, b) gauname kitą formą
kompleksinis skaičius
Tegu z=a+bi yra kompleksinis skaičius a, b∈ℝ. Pavaizduokime skaičių z kaip M(a, b) plokštumos tašką.
Trigonometrine forma
4 teorema. Dauginant kompleksinius skaičius trigonometrine forma, jų moduliai dauginami ir argumentai pridedami. Įrodymas. Tegul z1
De Moivre formulė
Kompleksinių skaičių sudėtis, atimtis, daugyba ir padalijimas gali būti patogiai atliekami algebrine forma. Tačiau didinant iki laipsnio ir išimant n≥3 laipsnio šaknį
De Moivre formulė
Apibrėžimas 11. Tegu n∈ℕ. N-oji kompleksinio skaičiaus z šaknis yra kompleksinis skaičius z1, kad z1
primityvios šaknys
Pagal 7 teoremą n-oji vienybės šaknis turi lygiai n reikšmių. Kadangi 1=1⋅(cos 0+isin 0), tada,
Polinomų žiedas viename kintamajame
Iš mokyklinio matematikos kurso ir iš matematinės analizės kurso žinoma, kad daugianario yra visa racionali funkcija, kurios formos f(x)=a0+a1x+a2.
Polinomo laipsnio savybės
19 apibrėžimas. Tegu K yra asociatyvinis-komutacinis žiedas su tapatybe, (
Virš vientisumo srities
13 teorema. Jei K yra vientisumo sritis, tai K[x] yra vientisumo sritis. Įrodymas. Tegu K yra vientisumo sritis. Parodykime tai
Žingsnių matrica
10 apibrėžimas. M × n matrica virš lauko P yra stačiakampė lentelė, susidedanti iš n eilučių ir m stulpelių šios formos:
Nuoseklus nežinomųjų pašalinimas
(Gauso metodas). Apsvarstykite vieną iš pagrindinių tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdų, kuris vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu arba kitaip.
Ir pagrindinės jų savybės
1. Matricos pridėjimas. 16 apibrėžimas. Tegul A=(aij), B=(bij) yra m×n matricų per lauką P. Suma
Matricinės lygtys
Apibrėžimas 22. N-osios formos matrica vadinama tapatumo matrica. 9 pastaba. Jei A -
Permutacijos pariteto teorema
27 apibrėžimas. Tegul M=(1,2,…,n). Permutacija aibėje M arba n-ojo laipsnio permutacija yra aibė M su nurodyta jos elementų vieta.
Antrosios ir trečiosios eilės determinantai
Tegu A \u003d yra n-osios eilės matrica virš lauko P. Iš matricos A elementų sudarysime visus įmanomus sandaugus
Algebrinių papildinių ryšys su nepilnamečiais
Tegu Δ = = . Apibrėžimas 31. Jei determinante Δ cgr
Matricos produkto determinantas
9 teorema. Tegu A ir B yra n-osios eilės matricos virš lauko P. Tada |AB|=|A|∙|B|, t.y. matricų sandaugos determinantas yra lygus determinantų sandaugai
Atvirkštinės matricos skaičiavimo formulė
10 teorema. Tegu A= yra n-osios eilės matrica virš lauko P. Jei determinantas
Cramerio formulės
11 teorema. Tegu (1) yra n tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų per lauką P, А=
1. Žiedo homomorfizmo sudėtis yra žiedo homomorfizmas.
Leisti būti , , yra žiedai, , yra žiedo homomorfizmai ir yra funkcijų kompozicija. Tada už " a, b Î K Išsipildo 1 lygybė:
Taigi, yra žiedo homomorfizmas.
2. Jeigu f : K 1® K 2 yra žiedo homomorfizmas - subring K 2 .
aš f Í K 2 ir . ( K 1 , +) ir ( K 2 , ) – grupės, f yra duotų priedų grupių homomorfizmas. Todėl pagal grupių homomorfizmų savybę 2 . Nes išsipildo, nes f yra žiedo homomorfizmas. Vadinasi, aš f- subring K 2 .
3. Jeigu f : K 1® K 2 yra žiedo homomorfizmas ir už .
Nes f : K 1® K 2 yra atitinkamų priedų žiedų grupių homomorfizmas ( K 1 , +) ir ( K 2 , ), tada pagal grupinių homomorfizmų savybę 2 turime ir už . Greitas įrodymas:
pagal homomorfizmo apibrėžimą – neutralus ir priešingas adityvinės grupės elementas.
4. Jeigu f : K 1® K 2 yra žiedo homomorfizmas, tada už in aš f, kur yra vienetas K 1 ir - vienetas aš f.
Pagal 2 turtą. Jei – vienetas K 1, tada už , nes f yra homomorfizmas,
Tai yra vienetas. Už , lygybės ir f(a-vienas) · f(a), todėl į aš f.
5. Jeigu f : K 1® K 2 yra žiedo homomorfizmas Ker f- dvišalis idealas K 1 .
Ker f Í K 1 ir Ker f¹ Æ, nes Ker f pagal nuosavybę 3. Už " a, b Î Ker f. Toliau už " a Î Ker f, " k Î K 1 yra įvykdytas, . Taigi,
4.6.4 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją f : Z/28Z ® Z/28Z, kur. f yra žiedo endomorfizmas ( Z/28Z, Å, Ä), nes bet kuriai , н Z/28Z
Galima pastebėti, kad už , nuo , ir taip pat tai aš f ir Ker f yra pagrindiniai žiedo idealai Z/28Z, tai yra aš f, kur ( k, 28) = 28/7 = 4 ir Ker f, kur ( l, 28) = 28/4 = 7. Taigi,
aš f- subring Z/28Z, bet nuo to laiko aš f.·
6. Žiedo homomorfizmas f : K 1® K 2 yra monomorfizmas tada ir tik tada, kai .
Įrodymas išplaukia iš grupinių homomorfizmų 4 savybės, nes f : K 1® K 2 yra atitinkamų grupių homomorfizmas ( K 1 , +) ir ( K 2 , ).
Iš 5 ir 6 savybių išplaukia, kad bet koks savavališkų laukų homomorfizmas yra lygus nuliui arba injekcinis (nes laukas neturi netrivialių idealų). Homomorfizmai leidžia identifikuoti izomorfinius laukus, nustatyti dalinės tvarkos ryšius tarp laukų – įtraukimu.
4.6.1 teorema (pirmoji teorema apie žiedo homomorfizmus). Leisti būti ( K, +, ×) yra žiedas, yra dvipusis idealas. Tada egzistuoja žiedų epimorfizmas, kuriam Ker f = aš.
Sukurkime funkciją , kur . f– surjekcija: , , egzistuoja.
pagal faktoriaus žiedo konstrukciją ( K/aš, Å, Ä). Štai kodėl f yra žiedo homomorfizmas.
Dėl Ker f. Leiskite, bet jei , Kadangi skirtingų klasių likučių modulo dvipusis idealas nesikerta. Pasirodo prieštaravimas. Vadinasi, ir. Taigi,
Apibrėžimas 4.6.4.Žiedo homomorfizmas, kur dėl kurio vadinamas natūralus(kanoninis) homomorfizmas.
4.6.2 teorema (antroji teorema apie žiedo homomorfizmus). Tegul yra žiedo homomorfizmas į ringą. Tada
(2 žiedo homomorfizmų savybė), (žiedo homomorfizmų 5 savybė). Sukurkime funkciją f:, kur. f yra surjekcinė funkcija, nes už .
f nepriklauso nuo likučių klasės atstovo pasirinkimo: tegul a 1 = a+i, tada mes tai gauname
Leisk tada. Kadangi kitaip, o tai veda prie prieštaravimo, kad. Reiškia, f- injekcija. Taigi, f: yra dviobjektyvi funkcija.
dėl . Reiškia, f yra žiedo homomorfizmas. Taigi, f yra žiedų ir izomorfizmas.
Kadangi savavališkam žiedui žiedo homomorfizmų 6 savybė ir 4.6.2 teorema reiškia, kad bet koks injekcinis žiedo endomorfizmas yra automorfizmas. Visų pirma, bet koks lauko endomorfizmas, kuris nėra nulinis, yra jo automorfizmas.
4.6.5 pavyzdys. Leisti būti ( P, +, ×) – laukas, ( P[x], +, ×) yra daugianario žiedas virš lauko P. yra fiksuotas lauko elementas. Apsvarstykite funkciją , kur . Tada lygybės galioja:
Vadinasi, y yra žiedo homomorfizmas.
pagal Bezout teoremos 1 išvadą 4.4.4. y yra surjekcija, nes ir . Taigi, pagal 4.6.2 teoremą. ·
2 išvados plėtra iš 4.5.2 teoremos yra tokia teorema.
4.6.3 teorema (šaknies egzistavimo teorema). Bet kuriam neredukuojamajam daugianario f(x)Î P[x] laipsnis nÎ N yra lauko pratęsimas P kuriame yra šio daugianario šaknis ir lauko izomorfas P[x]/< f(x) >.
Faktoriaus žiedas ( P[x]/< f(x) >, M, L) yra laukas pagal 4.5.2 teoremos 2 išvadą. Polaukis į P[x]/< f(x) > izomorfinis laukui P, aišku, izomorfizmą lemia funkcija y: P ® P[x]/< f(x)> kur y(a) = , kuri yra investicija P in P[x]/< f(x) > kaip minėta 4.6.3 pavyzdyje. Leisti būti f(x) = a n x n +…+a 1 x+a 0 , , tada lauke P[x]/< f(x) > . Bet kadangi = , tada yra daugianario šaknis. Dabar apsvarstykite rinkinį S, atitinkantis sąlygas: SÇ P = Æ, | S | = | (P[x]/< f(x) >)\ | ¹ 0 at n> 1. Leiskite F = SÈ P, adresu n = 1 F = P. Paklauskime F lauko struktūra išplečiant monomorfizmą y iki izomorfizmo Fįjungta P[x]/< f(x) >. Jeigu b, cÎ F, tada darome prielaidą
b+c = y –1 (y(b)Å y(c)), b× c = y –1 (y(b)Ä y(c)).
Su apribojimais Pšios operacijos atitinkamai sutampa su nurodytomis sudėties ir daugybos operacijomis P, ir tai aišku P- polaukis F. Padėkime a= , tada y(f(a)) = y(a n a n +…+a 1 a+a 0) = = = ir, kadangi y– izomorfizmas Fįjungta P[x]/< f(x) >, f(a) = 0 lauke ( F, +, ×). Vadinasi, sukurtas laukas yra lauko pratęsimas P kuriame yra šaknis a daugianario f(x).
1 pasekmė. Bet kuriam daugianariui f(x)Î P[x] laipsnis nÎ N yra lauko pratęsimas P kuriame yra šio daugianamo šaknis.
Pagal 4.4.1 teoremą daugianario f(x) unikaliai faktorizuoja: f(x) = , kur , yra neredukuojami P daugianariai, kurių pirmaujantys koeficientai lygūs 1 – pirmaujantis koeficientas f(x). Pagal 4.6.3 teoremą kiekvienam yra lauko plėtinys P, kuriame yra šio daugianario šaknis, kuri taip pat yra daugianario šaknis f(x) pagal 4.4.4 Bezout teoremos 1 išvadą ir daugianario 3 dalijamumo savybę.
komentuoti. Tai, kad lauko išplėtimas P yra šaknis a daugianario f(x)Î P[x], visai nereiškia, kad jame yra visos šio daugianario šaknys.
4.6.6 pavyzdys. Polinomas f(x) = x 4–2 nesumažinamas K remiantis Eizenšteinu: p= 2. Lauke Cšis daugianomas turi keturias paprastas šaknis: , , ir . Tačiau lauke yra tik pirmoji ir trečioji iš šių šaknų, bet ne visos keturios. ·
2 pasekmė. Bet kuriam daugianariui f(x)Î P[x] laipsnis nÎ N yra lauko pratęsimas P kuriame yra visos šaknys f(x).
Įrodymas indukcija apie daugianario laipsnį f(x). Jeigu deg f= 1, tada f(x) = kirvis+b, a¹ 0 ir - a –1 bÎ P- viena šaknis f(x), reiškia, P yra norimas laukas. Tarkime, kad teiginys teisingas visiems polinomams, kurių laipsniai mažesni už fiksuotąjį nÎ N>1 , su koeficientais iš savavališkų laukų.
Leisk dabar deg f = n> 1. Tada pagal 4.6.3 teoremos 1 išvadą egzistuoja plėtinys P 1 laukas P, kuriame yra šaknis a daugianario f(x). Pagal 4.4.4 teoremos 1 išvadą P 1 [x] f(x) = (x–a)g(x), kur g(x)Î P 1 [x] ir degg = = n-vienas. Pagal indukcijos hipotezę yra išplėtimas P 2 laukai P 1, kuriame yra visos šaknys g(x). Nes P 2 yra lauko plėtinys P ir yra visos daugianario šaknys f(x) (jame yra a ir visos daugianario šaknys g(x)), tada P 2 yra norimas plėtinys.
4.6.4 teorema. Tebūnie žiedų epimorfizmas, Ker f = aš. Tada tarp visų žiedo idealų ir idealų yra vienas su vienu ir įtraukimą išsaugantis atitikimas. Užiedai ( K, +, ×), kuriuose yra aš, toks kad , .
, Ker f = aš. Leisti būti savavališkas idealas žiedas Atitinkamai, kairėje, dešinėje, dvipusis. Apsvarstykite atvirkštinį idealo vaizdą pagal žemėlapius f– . Tada galioja šios savybės:
1) , kadangi , kadangi , yra žiedo idealas, vadinasi, , ir ;
2) , kadangi , kadangi , yra žiedo idealas, vadinasi, ir ;
3) , jei yra kairysis idealas, , jei yra dešinysis idealas, , jei yra dvipusis idealas, nes atitinkamai , , kadangi ir atitinkamai , , , ir , .
Taigi, yra atitinkamai kairysis, dešinysis, dvipusis žiedo idealas ( K, +, ×) pagal apibrėžimą. Nes tada. Jei yra idealai žiedo , Ir Tada už , Vadinasi, už , Toks, kad Nuo , Todėl . Taigi, yra funkcija, apibrėžta visų žiedo idealų rinkinyje, kuri kiekvieną kairįjį, dešinįjį, dvipusį idealą susieja su jo atvirkštiniu vaizdu, kai jis rodomas. f, kuris yra atitinkamai kairysis, dešinysis, dvipusis žiedo idealas ( K, +, ×), kuriuose yra aš, o ši funkcija išsaugo idealų inkliuzus. , tada K ir atitinkamai kairysis, dešinysis, dvipusiai žiedo idealai .
Pagal 4.6.2 teoremą egzistuoja žiedų izomorfizmas , . Taikydami 4.6.3 teoremą gauname tai f apibrėžia reikalingą žiedo ir žiedo idealų atitikimą vienas su vienu, kad , .
