פעולת כוחות חיצוניים על גוף מוצק מובילה להופעת מתחים ומתחים בנקודות בנפחו. במקרה זה, מצב הלחץ בנקודה, הקשר בין הלחצים באתרים שונים העוברים בנקודה זו, נקבעים על ידי משוואות הסטטיקה ואינם תלויים בתכונות הפיזיקליות של החומר. המצב המעוות, הקשר בין תזוזות ועיוותים נוצרים תוך שימוש בשיקולים גיאומטריים או קינמטיים וגם אינם תלויים בתכונות החומר. על מנת לבסס קשר בין מתחים ומתחים, יש צורך לקחת בחשבון את המאפיינים בפועל של החומר ואת תנאי ההעמסה. מודלים מתמטיים המתארים את הקשר בין מתחים ומתחים מפותחים על בסיס נתונים ניסיוניים. מודלים אלה צריכים לשקף את המאפיינים האמיתיים של חומרים ותנאי העמסה במידה מספקת של דיוק.

הנפוץ ביותר עבור חומרים מבניים הם מודלים של גמישות ופלסטיות. גמישות היא תכונתו של גוף לשנות צורה וגודל תחת פעולת עומסים חיצוניים ולשחזר את התצורה המקורית שלו כאשר העומסים מוסרים. מבחינה מתמטית, תכונת האלסטיות מתבטאת ביצירת קשר פונקציונלי אחד לאחד בין מרכיבי טנסור המתח וטנזור המתח. תכונת האלסטיות משקפת לא רק את תכונות החומרים, אלא גם את תנאי ההעמסה. עבור רוב החומרים המבניים, תכונת הגמישות מתבטאת בערכים מתונים של כוחות חיצוניים, המובילים לעיוותים קטנים, ובשיעורי העמסה נמוכים, כאשר הפסדי אנרגיה עקב השפעות הטמפרטורה זניחים. חומר נקרא אלסטי ליניארי אם הרכיבים של טנזור המתח וטנזור המתח מחוברים ביחסים ליניאריים.

ברמות גבוהות של העמסה, כאשר מתרחשים עיוותים משמעותיים בגוף, החומר מאבד חלקית את תכונותיו האלסטיות: בפריקת עומס, מידותיו וצורתו המקוריות אינן משוחזרות לחלוטין, וכאשר עומסים חיצוניים מוסרים לחלוטין, מתקבעים עיוותים שיוריים. במקרה הזה הקשר בין מתחים ומתחים מפסיק להיות חד משמעי. תכונה חומרית זו נקראת פּלָסטִיוּת.העיוותים השיוריים המצטברים בתהליך של דפורמציה פלסטית נקראים פלסטיק.

רמה גבוהה של מתח יכולה לגרום הרס, כלומר, חלוקת הגוף לחלקים.גופים מוצקים העשויים מחומרים שונים נהרסים בכמויות שונות של דפורמציה. השבר הוא שביר בזנים קטנים ומתרחש, ככלל, ללא עיוותים פלסטיים ניכרים. הרס כזה אופייני לברזל יצוק, פלדות סגסוגת, בטון, זכוכית, קרמיקה ועוד כמה חומרים מבניים. עבור פלדות דל פחמן, מתכות לא ברזליות, פלסטיק, סוג פלסטי של שבר אופייני בנוכחות עיוותים שיוריים משמעותיים. עם זאת, חלוקת החומרים לפי אופי ההרס שלהם לשבירים ולרקיעים היא מאוד מותנית; בדרך כלל היא מתייחסת לכמה תנאי הפעלה סטנדרטיים. חומר אחד ויחיד יכול להתנהג, בהתאם לתנאים (טמפרטורה, אופי העומס, טכנולוגיית ייצור וכו'), כשביר או כרקיע. לדוגמה, חומרים שהם פלסטיק בטמפרטורות רגילות נהרסים כשבירים בטמפרטורות נמוכות. לכן, נכון יותר לדבר לא על חומרים שבירים ופלסטיים, אלא על המצב השביר או הפלסטי של החומר.

תן לחומר להיות ליניארי אלסטי ואיזוטרופי. הבה נבחן נפח יסודי בתנאים של מצב מתח חד-צירי (איור 1), כך שלטנזור המתח יש את הצורה

תחת עומס כזה, יש עלייה בממדים בכיוון הציר הו,מאופיין בדפורמציה ליניארית, שהיא פרופורציונלית לגודל הלחץ

איור.1.מצב מתח חד צירי

יחס זה הוא סימון מתמטי חוק הוקביסוס קשר פרופורציונלי בין מתח לבין העיוות הליניארי המקביל במצב מתח חד צירי. מקדם המידתיות E נקרא מודול האלסטיות האורך או מודול יאנג.יש לזה מימד של מתחים.

יחד עם הגידול בגודל בכיוון הפעולה; תחת אותו לחץ, הממדים יורדים בשני כיוונים אורתוגונליים (איור 1). העיוותים המתאימים יסומנו על ידי ו , ועיוותים אלה הם שליליים עבור חיוביים והם פרופורציונליים ל:

עם פעולה בו-זמנית של מתחים לאורך שלושה צירים אורתוגונליים, כאשר אין מתחים משיקים, עקרון הסופרפוזיציה (סופרפוזיציה של פתרונות) תקף עבור חומר אלסטי ליניארי:

בהתחשב בנוסחאות (1 4), אנו מקבלים

מתחים טנגנציאליים גורמים לעיוותים זוויתיים, ובעיוותים קטנים הם אינם משפיעים על השינוי בממדים הליניאריים, ולכן, עיוותים ליניאריים. לכן, הם תקפים גם במקרה של מצב לחץ שרירותי ומבטאים את מה שנקרא הכליל את חוק הוק.

דפורמציה זוויתית נובעת ממתח גזירה, ועיוותים ובהתאמה, ממתחים ו. בין מתחי הגזירה המתאימים ועיוותים זוויתיים עבור גוף איזוטרופי אלסטי ליניארי, ישנם יחסים פרופורציונליים

המבטאים את החוק הוו למשמרת.גורם המידתיות G נקרא מודול גזירה.חיוני שהמתח הרגיל לא ישפיע על העיוותים הזוויתיים, שכן במקרה זה רק הממדים הליניאריים של המקטעים משתנים, ולא הזוויות ביניהם (איור 1).

תלות ליניארית קיימת גם בין המתח הממוצע (2.18), שהוא פרופורציונלי לאינווריאנט הראשון של טנזור המתח, לבין המתח הנפחי (2.32), החופף לאנוריאנט הראשון של טנזור המתח:

איור 2.מתח גזירה מישורית

יחס רוחב-גובה מתאים לשקוראים לו מודול גמישות בתפזורת.

נוסחאות (1 7) כוללות את המאפיינים האלסטיים של החומר ה, , Gו ל,קביעת התכונות האלסטיות שלו. עם זאת, מאפיינים אלה אינם עצמאיים. עבור חומר איזוטרופי, בדרך כלל נבחרים שני מאפיינים אלסטיים עצמאיים כמודול האלסטי הוהיחס של פואסון. כדי לבטא את מודול הגזירה Gדרך הו , הבה נבחן עיוות גזירה מישורית תחת פעולת מתחי גזירה (איור 2). כדי לפשט את החישובים, אנו משתמשים באלמנט מרובע עם צד א.חשב את הלחצים העיקריים , . מתחים אלו פועלים על אתרים הממוקמים בזווית לאתרים המקוריים. מתוך איור. 2 מצא את הקשר בין דפורמציה ליניארית בכיוון הלחץ לבין דפורמציה זוויתית . האלכסון העיקרי של המעוין המאפיין את העיוות שווה ל

לעיוותים קטנים

בהינתן יחסים אלו

לפני דפורמציה, לאלכסון זה היה גודל . אז יהיה לנו

מחוק הוק המוכלל (5) אנו מקבלים

השוואה של הנוסחה המתקבלת עם חוק הוק עם תזוזה (6) נותנת

כתוצאה מכך, אנו מקבלים

בהשוואה לביטוי זה עם החוק הנפחי של הוק (7), אנו מגיעים לתוצאה

מאפיינים מכניים ה, , Gו לנמצאות לאחר עיבוד הנתונים הניסיוניים של דגימות בדיקה עבור סוגים שונים של עומסים. מנקודת המבט הפיזית, כל המאפיינים האלה לא יכולים להיות שליליים. בנוסף, עולה מהביטוי האחרון שהיחס של פואסון לחומר איזוטרופי אינו עולה על 1/2. לפיכך, אנו מקבלים את ההגבלות הבאות עבור הקבועים האלסטיים של חומר איזוטרופי:

ערך הגבלה מוביל לערך הגבלה , שמתאים לחומר שאינו ניתן לדחיסה ( ב ). לסיכום, אנו מבטאים את הלחצים במונחים של דפורמציות מיחסי האלסטיות (5). אנו כותבים את היחס הראשון (5) בטופס

באמצעות שוויון (9), יהיה לנו

ניתן לגזור יחסים דומים עבור ו. כתוצאה מכך, אנו מקבלים

כאן נעשה שימוש ביחס (8) עבור מודול הגזירה. בנוסף, הייעוד

אנרגיה פוטנציאלית של דפורמציה אלסטית

שקול תחילה את הכרך היסודי dV=dxdydzבתנאים של מצב מתח חד צירי (איור 1). תקן נפשית את האתר x=0(איור 3). כוח פועל בצד הנגדי . הכוח הזה אכן עובד בעקירה. . ככל שהמתח עולה מאפס לערך העיוות המקביל, מכוח חוק הוק, עולה גם הוא מאפס לערך , והעבודה פרופורציונלית לזו המוצללת באיור. 4 ריבועים: . אם נזניח את האנרגיה הקינטית וההפסדים הקשורים לתופעות תרמיות, אלקטרומגנטיות ואחרות, אזי, מכוח חוק שימור האנרגיה, העבודה שנעשתה תהפוך ל אנרגיה פוטנציאליתהצטבר במהלך תהליך העיוות: . F= dU/dVשקוראים לו אנרגיה פוטנציאלית ספציפית של דפורמציה,שיש לו משמעות של האנרגיה הפוטנציאלית שנצברת ביחידת נפח של הגוף. במקרה של מצב מתח חד צירי

משרד החינוך של הרפובליקה האוטונומית של קרים

האוניברסיטה הלאומית של טאורידה. ורנדסקי

חקר החוק הפיזיקלי

חוק הוק

הושלם על ידי: סטודנט שנה א'

הפקולטה לפיזיקה F-111

פוטאפוב יבגני

סימפרופול-2010

לְתַכְנֵן:

היחס בין אילו תופעות או כמויות מבטאים את החוק.

נוסח החוק

ביטוי מתמטי של החוק.

כיצד התגלה החוק: על בסיס נתונים ניסיוניים או תיאורטית.

עובדות מנוסים שעל בסיסן גובש החוק.

ניסויים המאשרים את תוקפו של חוק שנוסח על בסיס תיאוריה.

דוגמאות לשימוש בחוק והתחשבות בהשפעת החוק בפועל.

סִפְרוּת.

היחס בין אילו תופעות או כמויות מבטא את החוק:

חוק הוק מתייחס לתופעות כמו מתח ומתח בגוף מוצק, מודול אלסטיות והתארכות. מודול הכוח האלסטי הנובע מהדפורמציה של הגוף הוא פרופורציונלי להתארכותו. התארכות היא מאפיין של יכולת העיוות של חומר, המוערכת לפי הגידול באורך של דגימה של חומר זה כאשר הוא נמתח. הכוח האלסטי הוא הכוח שנוצר כאשר גוף מעוות ומתנגד לעיוות זה. מתח הוא מדד לכוחות פנימיים הנוצרים בגוף שניתן לעיוות בהשפעת השפעות חיצוניות. דפורמציה - שינוי במיקום היחסי של חלקיקי הגוף, הקשורים לתנועתם זה ביחס לזה. מושגים אלה מחוברים על ידי מה שנקרא מקדם קשיחות. זה תלוי בתכונות האלסטיות של החומר ובמידות הגוף.

נוסח החוק:

חוק הוק הוא משוואה של תורת האלסטיות המתייחסת למתח והדפורמציה של תווך אלסטי.

ניסוח החוק הוא שהכוח האלסטי עומד ביחס ישר לעיוות.

ביטוי מתמטי של החוק:

עבור מוט מתיחה דק, לחוק הוק יש את הצורה:

כאן וכוח מתח המוט, Δ ל- התארכותו (דחיסה), ו קשקוראים לו מקדם גמישות(או קשיות). המינוס במשוואה מציין שכוח המתח מופנה תמיד לכיוון המנוגד לעיוות.

אם נכנסים להתארכות יחסית

ומתח רגיל בחתך הרוחב

אז חוק הוק ייכתב כ

בצורה זו, זה תקף לכל נפח קטן של חומר.

במקרה הכללי, מתחים ומתחים הם טנסורים מהדרג השני במרחב התלת מימדי (יש להם 9 רכיבים כל אחד). טנסור הקבועים האלסטיים המחבר ביניהם הוא טנזור בדרגה רביעית ג ijklומכיל 81 מקדמים. בשל הסימטריה של הטנזור ג ijkl, כמו גם מתח ומתח, רק 21 קבועים הם בלתי תלויים. חוק הוק נראה כך:

איפה σ ij- מתח טנסור, -מתח מתח. עבור חומר איזוטרופי, הטנזור ג ijklמכיל רק שני מקדמים בלתי תלויים.

כיצד התגלה החוק: על בסיס נתונים ניסיוניים או תיאורטית:

החוק התגלה בשנת 1660 על ידי המדען האנגלי רוברט הוק (הוק) על בסיס תצפיות וניסויים. התגלית, כפי שטען הוק במאמרו "De potentia restitutiva", שפורסם ב-1678, נעשתה על ידו 18 שנים לפני אותה תקופה, ובשנת 1676 הוצבה בספר אחר שלו במסווה של אנגרמה "ceiiinosssttuv", כלומר. "Ut tensio sic vis" . לדברי המחבר, חוק המידתיות הנ"ל חל לא רק על מתכות, אלא גם על עץ, אבנים, קרן, עצמות, זכוכית, משי, שיער וכדומה.

עובדות מנוסים שעל בסיסן גובש החוק:

ההיסטוריה שותקת בעניין זה.

ניסויים המאשרים את תוקפו של החוק שנוסח על בסיס התיאוריה:

החוק מנוסח על בסיס נתונים ניסיוניים. ואכן, כאשר מותחים גוף (חוט) עם מקדם קשיחות מסוים קמרחק Δ אני,אז התוצר שלהם יהיה שווה בערכם המוחלט לכוח המתיחה של הגוף (תיל). יחס זה יתקיים, עם זאת, לא עבור כל העיוותים, אלא עבור קטנים. בעיוותים גדולים, חוק הוק מפסיק לפעול, הגוף נהרס.

דוגמאות לשימוש בחוק ולהתחשב בהשפעת החוק בפועל:

כפועל יוצא מחוק הוק, ניתן להשתמש בהארכת קפיץ כדי לשפוט את הכוח הפועל עליו. עובדה זו משמשת למדידת כוחות באמצעות דינמומטר - קפיץ בעל סולם ליניארי המכויל לערכים שונים של כוחות.

סִפְרוּת.

1. משאבי אינטרנט: - אתר ויקיפדיה (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. ספר לימוד בפיזיקה Peryshkin A.V. כיתה 9

3. ספר לימוד בפיזיקה V.A. קסיאנוב כיתה י'

4. הרצאות על מכניקה Ryabushkin D.S.

מקדם אלסטי

מקדם גמישות(המכונה לפעמים מקדם הוק, מקדם הקשיחות או קשיחות הקפיץ) - המקדם המקשר בין הארכת גוף אלסטי בחוק הוק לבין הכוח האלסטי הנובע מהארכה זו. הוא משמש במכניקה מוצקה בקטע של גמישות. מסומן במכתב ק, לפעמים דאוֹ ג. יש לו את היחידה של N/m או kg/s2 (ב-SI), dyn/cm או g/s2 (ב-CGS).

מקדם האלסטיות שווה מספרית לכוח שיש להפעיל על הקפיץ כך שאורכו משתנה ליחידת מרחק.

הגדרה ומאפיינים

מקדם האלסטיות, בהגדרה, שווה לכוח האלסטי חלקי השינוי באורך הקפיץ: k = F e / Δ l . (\displaystyle k=F_(\mathrm (e) )/\Delta l.) מקדם האלסטיות תלוי הן בתכונות החומר והן במידות הגוף האלסטי. לכן, עבור מוט אלסטי, אפשר לחלץ את התלות בממדי המוט (שטח חתך S (\displaystyle S) ואורך L (\displaystyle L)), לרשום את מקדם האלסטיות כ-k = E ⋅ S / L . (\displaystyle k=E\cdot S/L.) הכמות E (\displaystyle E) נקראת יאנג'ס מודולוס, ובניגוד למקדם האלסטיות, תלויה רק ​​בתכונות חומר המוט.

קשיחות של גופים הניתנים לעיוות כאשר הם מחוברים

חיבור מקביל של קפיצים. חיבור קפיצים סדרתי.

בעת חיבור מספר גופים בעלי עיוות אלסטית (להלן, לקיצור קפיצים), הקשיחות הכללית של המערכת תשתנה. בחיבור במקביל, הקשיחות עולה, בחיבור בסדרה היא יורדת.

חיבור מקביל

עם חיבור מקביל של n (\displaystyle n) קפיצים עם קשיחות שווה ל k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) קשיחות המערכת שווה לסכום הקשיחות, כלומר k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . + k n . (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+k_(3)+...+k_(n).)

הוכחה

ישנם n (\displaystyle n) קפיצים בחיבור מקביל עם קשיחות k 1 , k 2 , . . . , ק נ . (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) מחוק ניוטון III, F = F 1 + F 2 + . . . + F n . (\displaystyle F=F_(1)+F_(2)+...+F_(n).) (כוח F (\displaystyle F) מופעל עליהם. כוח F 1 מופעל על קפיץ 1 , (\displaystyle F_(1),) לקפיץ 2 כוח F 2 , (\displaystyle F_(2),) … , לקפיץ n (\displaystyle n) כוח F n . (\displaystyle F_(n)))

כעת מחוק הוק (F = − k x (\displaystyle F=-kx) , כאשר x הוא ההתארכות) נגזר: F = k x ; F 1 = k 1 x; F 2 \u003d k 2 x; . . . ; F n = k n x . (\displaystyle F=kx;F_(1)=k_(1)x;F_(2)=k_(2)x;...;F_(n)=k_(n)x.) החלף את הביטויים האלה ב- שוויון (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; (\displaystyle kx=k_(1)x+k_(2)x+...+k_(n)x;) צמצום ב-x , (\displaystyle x,) נקבל: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+...+k_(n)), שהיה צריך להוכיח.

חיבור טורי

עם חיבור סדרתי של n (\displaystyle n) קפיצים עם קשיחות שווה ל-k 1, k 2, k 3,. . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) הקשיחות הכוללת נקבעת מתוך המשוואה: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . . . + 1 / k n) . (\displaystyle 1/k=(1/k_(1)+1/k_(2)+1/k_(3)+...+1/k_(n)).)

הוכחה

ישנם n (\displaystyle n) קפיצים בחיבור סדרתי עם קשיחות k 1 , k 2 , . . . , ק נ . (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) חוק הוק (F = − k l (\displaystyle F=-kl) , כאשר l הוא הרחבה) מרמז ש-F = k⋅ ל. (\displaystyle F=k\cdot l.) סכום ההארכות של כל קפיץ שווה לסך ההרחבה של כל החיבור l 1 + l 2 + . . . + l n = l . (\displaystyle l_(1)+l_(2)+...+l_(n)=l.)

אותו כוח F פועל על כל קפיץ. (\displaystyle F.) לפי חוק הוק, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . (\displaystyle F=l_(1)\cdot k_(1)=l_(2)\cdot k_(2)=...=l_(n)\cdot k_(n).) מהביטויים הקודמים אנו גוזרים: l = F / k , l 1 = F / k 1 , l 2 = F / k 2 , . . . , l n = F / k n . (\displaystyle l=F/k,\quad l_(1)=F/k_(1),\quad l_(2)=F/k_(2),\quad ...,\quad l_(n)= F/k_(n).) בהחלפת ביטויים אלה ב-(2) וחלוקה ב-F , (\displaystyle F,) נקבל 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , (\displaystyle 1/k=1/k_(1)+1/k_(2)+...+1/k_(n)), שהיה צריך להוכיח.

קשיחות של כמה גופים הניתנים לעיוות

מוט של חתך קבוע

מוט אחיד של חתך רוחב קבוע, מעוות אלסטית לאורך הציר, יש מקדם קשיחות

K = E S L 0 , (\displaystyle k=(\frac (E\,S)(L_(0))),) ה- מודול יאנג, תלוי רק בחומר ממנו עשוי המוט; ס- שטח חתך; ל 0 - אורך מוט.

קפיץ סליל גלילי

קפיץ דחיסה גלילי מעוות.

קפיץ דחיסה או הארכה גלילי מעוות, מלופף מחוט גלילי ומעוות אלסטית לאורך הציר, בעל מקדם קשיחות

K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , (\displaystyle k=(\frac (G\cdot d_(\mathrm (D) )^(4))(8\cdot d_(\mathrm (F ) )^(3)\cdot n)))) ד- קוטר החוט; ד F הוא קוטר המתפתל (נמדד מציר החוט); נ- מספר סיבובים; G- מודול גזירה (עבור פלדה רגילה G≈ 80 GPa, לפלדה קפיצית G≈ 78.5 GPa, עבור נחושת ~ 45 GPa).

מקורות והערות

1. דפורמציה אלסטית (רוסית). בארכיון מהמקור ב-30 ביוני 2012.
2. דיטר משדה, כריסטיאן גרתסן.פיזיקה. - Springer, 2004. - P. 181 ..
3. ברונו אסמן. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. - Oldenbourg, 2004. - P. 11 ..
4. דינמיקה, כוח האלסטיות (רוסית). בארכיון מהמקור ב-30 ביוני 2012.
5. תכונות מכניות של גופים (רוסית). בארכיון מהמקור ב-30 ביוני 2012.

10. חוק הוק בלחץ-מתח. מודול אלסטיות (מודול יאנג).

תחת מתח צירי או דחיסה עד לגבול המידתיות σ יחסי ציבור חוק הוק תקף, כלומר. חוק המידתיות הישירה בין מתחים רגילים  ועיוותים יחסיים אורכיים :

(3.10)

אוֹ

(3.11)

כאן E - למקדם המידתיות בחוק הוק יש את מימד המתח והוא נקרא מודול האלסטיות מהסוג הראשוןמאפיין את התכונות האלסטיות של החומר, או המודולוס של יאנג.

דפורמציה אורכית יחסית היא היחס בין העיוות האורך המוחלט של החתך

מוט לאורך קטע זה לפני דפורמציה:

(3.12)

העיוות הרוחבי היחסי יהיה שווה ל: " = = b/b, כאשר b = b 1 - b.

היחס בין המתח הרוחבי היחסי " למתח האורך היחסי , כבערך מוחלט, הוא ערך קבוע לכל חומר ונקרא יחס פואסון:

קביעת העיוות המוחלט של קטע הקורה

בנוסחה (3.11), במקום ו הבה נחליף ביטויים (3.1) ו-(3.12):

מכאן נקבל נוסחה לקביעת ההתארכות (או הקיצור) המוחלטת של קטע של מוט באורך של:

(3.13)

בנוסחה (3.13), המוצר ЕА נקרא קשיחות הקורה במתח או דחיסה,שנמדד ב-kN, או ב-MN.

לפי נוסחה זו, עיוות מוחלט נקבע אם הכוח האורך קבוע בחתך. במקרה שבו הכוח האורך משתנה על החתך, הוא נקבע על ידי הנוסחה:

(3.14)

כאשר N(x) הוא פונקציה של הכוח האורך לאורך החתך.

11. יחס מתח רוחבי (יחס פויסון

12. קביעת תזוזות במתח-דחיסה. חוק הוק עבור חתיכת עץ. קביעת תזוזות של קטעי קורות

הגדר את התזוזה האופקית של נקודה אציר האלומה (איור 3.5) - u a: הוא שווה לעיוות המוחלט של חלק מהקרן אד, המסתיים בין הסיום לבין הסעיף שנמשך דרך הנקודה, כלומר.

בתורו, ההתארכות אדמורכב מהרחבות של חלקי עומס בודדים 1, 2 ו-3:

כוחות אורך בקטעים הנחשבים:

כתוצאה מכך,

לאחר מכן

באופן דומה, אתה יכול לקבוע את העקירה של כל קטע של הקורה ולנסח את הכלל הבא:

להזיז קטע כלשהו ימוט בדחיסה-מתח מוגדר כסכום של מתחים מוחלטים נקטעי מטען סגורים בין הקטעים הנחשבים והקבועים (הקבועים), כלומר.

(3.16)

מצב הקשיחות של הקורה ייכתב בצורה הבאה:

, (3.17)

איפה

- הערך הגדול ביותר של עקירת החתך, נלקח מודולו מתרשים העקירה; u - הערך המותר של עקירת החתך עבור מבנה נתון או אלמנט שלו, שנקבע בנורמות.

13. קביעת מאפיינים מכניים של חומרים. בדיקת מתיחה. בדיקת דחיסה.

כדי לכמת את התכונות הבסיסיות של חומרים כמו

ככלל, קבע בניסוי את דיאגרמת המתיחה בקואורדינטות  ו-  (איור 2.9), הנקודות האופייניות מסומנות בתרשים. בואו נגדיר אותם.

המתח הגבוה ביותר שעד אליו חומר עוקב אחר חוק הוק נקרא גבול המידתיות  פ. במסגרת חוק הוק, הטנגנס של שיפוע הישר  = ו() לציר  נקבע לפי הערך ה.

התכונות האלסטיות של החומר נשמרות עד ללחץ  בְּשקוראים לו גבול אלסטי. תחת גבול אלסטי  בְּמובן כמתח מרבי שכזה, שעד אליו החומר אינו מקבל עיוותים שיוריים, כלומר. לאחר פריקה מלאה, הנקודה האחרונה בתרשים עולה בקנה אחד עם נקודת ההתחלה 0.

ערך  טשקוראים לו חוזק תשואהחוֹמֶר. חוזק התפוקה מובן כמתח שבו המתח גדל ללא עלייה ניכרת בעומס. אם יש צורך להבחין בין מתיחה לחוזק כושר דחיסה  טמוחלף בהתאמה ב-  TRו-  TS. במתחים גדולים  טעיוותים פלסטיים מתפתחים בגוף המבנה  פ, אשר אינם נעלמים כאשר העומס מוסר.

היחס בין הכוח המרבי שהדגימה יכולה לעמוד בו לבין שטח החתך הראשוני שלו נקרא חוזק מתיחה, או חוזק מתיחה, והוא מסומן ב-  VR(כאשר דחוסים  שמש).

בעת ביצוע חישובים מעשיים, הדיאגרמה האמיתית (איור 2.9) מפושטת, ולשם כך נעשה שימוש בדיאגרמות קירוב שונות. כדי לפתור בעיות תוך התחשבות בצורה אלסטית פלסטיקמאפיינים של חומרים של מבנים משמש לרוב דיאגרמת Prandtl. לפי תרשים זה, המתח משתנה מאפס לחוזק התשואה לפי חוק הוק  = ה, ולאחר מכן עם הצמיחה של ,  =  ט(איור 2.10).

היכולת של חומרים לקבל דפורמציות קבועות נקראת פּלָסטִיוּת. על איור. 2.9 הוצג תרשים אופייני לחומרים פלסטיים.

אורז. 2.10 איור. 2.11

התכונה ההפוכה של פלסטיות היא התכונה שְׁבִירוּת, כלומר היכולת של חומר לקרוס ללא היווצרות של עיוותים שיוריים ניכרים. חומר בעל תכונה זו נקרא שָׁבִיר. חומרים שבירים כוללים ברזל יצוק, פלדת פחמן גבוהה, זכוכית, לבנים, בטון ואבנים טבעיות. תרשים אופייני של דפורמציה של חומרים שבירים מוצג באיור. 2.11.

1. מה נקרא דפורמציה בגוף? כיצד מנוסח חוק הוק?

ואכית שבאלייב

דפורמציות הן כל שינוי בצורת, בגודל ובנפח של הגוף. דפורמציה קובעת את התוצאה הסופית של תנועת חלקי הגוף זה לזה.
עיוותים אלסטיים הם עיוותים שנעלמים לחלוטין לאחר הסרת כוחות חיצוניים.
עיוותים פלסטיים נקראים עיוותים שנשמרים באופן מלא או חלקי לאחר סיום פעולת הכוחות החיצוניים.
כוחות אלסטיים הם כוחות הנוצרים בגוף במהלך העיוות האלסטי שלו ומופנים לכיוון המנוגד לתזוזה של חלקיקים בזמן דפורמציה.
חוק הוק
דפורמציות קטנות וקצרות טווח עם מידת דיוק מספקת יכולים להיחשב כאלסטיים. עבור עיוותים כאלה, החוק של הוק תקף:
הכוח האלסטי הנובע מהדפורמציה של הגוף עומד ביחס ישר להתארכות המוחלטת של הגוף ומופנה לכיוון המנוגד לתזוזה של חלקיקי הגוף:
\
כאשר F_x היא הקרנת הכוח על ציר x, k היא קשיחות הגוף, בהתאם לגודל הגוף ולחומר ממנו הוא עשוי, יחידת הקשיחות במערכת SI N/m.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/

וריה גוסבה

דפורמציה היא שינוי בצורת או בנפח של גוף. סוגי דפורמציה - מתיחה או דחיסה (דוגמאות: מתיחת רצועה אלסטית או לחיצה, אקורדיון), כיפוף (לוח מתחת לאדם כפוף, דף נייר כפוף), פיתול (עבודה עם מברג, סחיטת כביסה בידיים ), גזירה (כאשר המכונית בולמת, הצמיגים מתעוותים עקב חיכוך).
חוק הוק: הכוח האלסטי המתרחש בגוף כשהוא מעוות עומד ביחס ישר לגודל העיוות הזה
אוֹ
הכוח האלסטי הנוצר בגוף במהלך העיוות שלו עומד ביחס ישר לגודל העיוות הזה.
הנוסחה של חוק הוק: Fupr \u003d kx

חוק הוק. ניתן לבטא בנוסחה F \u003d -kx או F \u003d kx?

⚓ לוטרה ☸

חוק הוק הוא משוואה של תורת האלסטיות המתייחסת למתח והדפורמציה של תווך אלסטי. נפתח בשנת 1660 על ידי המדען האנגלי רוברט הוק (הוק). מכיוון שחוק הוק נכתב עבור מתחים ומתחים קטנים, יש לו צורה של מידתיות פשוטה.

עבור מוט מתיחה דק, לחוק הוק יש את הצורה:
כאן F הוא כוח המתח של המוט, Δl הוא התארכותו (דחיסה), ו-k נקרא מקדם האלסטיות (או קשיחות). המינוס במשוואה מציין שכוח המתח מופנה תמיד לכיוון המנוגד לעיוות.

מקדם האלסטיות תלוי הן בתכונות החומר והן במידות המוט. ניתן להבחין בין התלות במידות המוט (שטח חתך S ואורך L) במפורש על ידי כתיבת מקדם האלסטיות כ
הערך של E נקרא מודול יאנג ותלוי רק בתכונות הגוף.

אם נכנסים להתארכות יחסית
ומתח רגיל בחתך הרוחב
אז אפשר לכתוב את חוק הוק בתור
בצורה זו, זה תקף לכל נפח קטן של חומר.
[לַעֲרוֹך]
כללי את חוק הוק

במקרה הכללי, מתחים ומתחים הם טנסורים מהדרג השני במרחב התלת מימדי (יש להם 9 רכיבים כל אחד). הטנזור של קבועים אלסטיים המחבר ביניהם הוא הטנזור של הדרגה הרביעית Cijkl ומכיל 81 מקדמים. בשל הסימטריה של טנסור ה-Cijkl, כמו גם טנסור הלחץ והמתח, רק 21 קבועים הם בלתי תלויים. חוק הוק נראה כך:
עבור חומר איזוטרופי, טנזור Cijkl מכיל רק שני מקדמים בלתי תלויים.

יש לזכור שחוק הוק מתקיים רק עבור עיוותים קטנים. כאשר חריגה ממגבלת המידתיות, הקשר בין הלחצים והמתיחות הופך לא ליניארי. עבור אמצעי תקשורת רבים, החוק של הוק אינו ישים אפילו בזנים קטנים.
[לַעֲרוֹך]

בקיצור, אתה יכול לעשות את זה כך וכך, תלוי מה אתה רוצה לציין בסופו של דבר: רק מודול הכוח של הוק או גם הכיוון של הכוח הזה. באופן קפדני, כמובן, -kx, מכיוון שכוח הוק מכוון נגד התוספת החיובית של הקואורדינטה של ​​סוף הקפיץ.

כאשר מוט נמתח ונדחס, אורכו וממדי החתך משתנים. אם אנו בוחרים מנטלית מהמוט במצב לא מעוות אלמנט של אורך dx,ואז לאחר דפורמציה אורכו יהיה שווה ל dx((איור 3.6). במקרה זה, ההתארכות המוחלטת בכיוון הציר אהיהיה שווה ל

ודפורמציה ליניארית יחסית ה xמוגדר על ידי השוויון

מאז הציר אהעולה בקנה אחד עם ציר המוט, שלאורכו פועלים עומסים חיצוניים, אנו קוראים לעיוות ה xדפורמציה אורכית, שעבורה המדד יושמט להלן. עיוותים בכיוונים מאונכים לציר נקראים עיוותים רוחביים. אם מסומן על ידי בגודל אופייני של החתך (איור 3.6), אז העיוות הרוחבי נקבע על ידי היחס

דפורמציות ליניאריות יחסיות הן כמויות חסרות מימד. נקבע כי העיוותים הרוחביים והאורכיים במהלך המתח והדחיסה המרכזיים של המוט מחוברים ביניהם על ידי התלות

הכמות v הנכללת בשוויון זה נקראת מקדם פואסוןאו מקדם עיוות רוחבי. מקדם זה הוא אחד הקבועים העיקריים של גמישות החומר ומאפיין את יכולתו לעיוותים רוחביים. עבור כל חומר, הוא נקבע מבדיקת מתיחה או דחיסה (ראה § 3.5) ומחושב לפי הנוסחה

כעולה משוויון (3.6), למתיחות האורך והרוחב יש תמיד סימנים הפוכים, מה שמאשר את העובדה הברורה שממדי החתך פוחתים בזמן המתח, ועוברים במהלך הדחיסה.

היחס של Poisson שונה עבור חומרים שונים. עבור חומרים איזוטריים, זה יכול לקחת ערכים הנעים בין 0 ל-0.5. לדוגמה, עבור עץ שעם, היחס של Poisson קרוב לאפס, בעוד עבור גומי הוא קרוב ל-0.5. עבור מתכות רבות בטמפרטורות רגילות, ערך היחס של פואסון הוא בטווח של 0.25 + 0.35.

כפי שנקבע בניסויים רבים, עבור רוב החומרים המבניים בזנים קטנים, קיים קשר ליניארי בין מתחים ומתחים

חוק המידתיות הזה הוקם לראשונה על ידי המדען האנגלי רוברט הוק ונקרא חוק הוק.

הקבוע הכלול בחוק הוק הנקרא מודול האלסטיות. מודול האלסטיות הוא קבוע האלסטיות העיקרי השני של חומר ומאפיין את קשיחותו. מכיוון שהזנים הם כמויות חסרות ממדים, עולה מ-(3.7) שלמודוס האלסטיות יש את ממד הלחץ.

בשולחן. 3.1 מציג את ערכי מודול האלסטיות והיחס של Poisson עבור חומרים שונים.

בעת תכנון וחישוב מבנים, יחד עם חישוב הלחצים, יש צורך גם לקבוע את התזוזות של נקודות בודדות וצמתים של מבנים. שקול שיטה לחישוב תזוזות תחת מתח מרכזי ודחיסה של מוטות.

אורך הארכת אלמנט מוחלט dx(איור 3.6) לפי הנוסחה (3.5) הוא

טבלה 3.1

שם החומר	מודול האלסטיות, MPa	מְקַדֵם פויסון
פלדת פחמן
סגסוגות אלומיניום
סגסוגות טיטניום
	(1.15-ש-1.6) 10 5
לאורך הסיבים	(0,1 ^ 0,12) 10 5
על פני הסיבים	(0,0005 + 0,01)-10 5
	(0,097 + 0,408) -10 5
לבנים	(0,027 +0,03)-10 5
פיברגלס SVAM
טקסטוליט	(0,07 + 0,13)-10 5
גומי על גומי

שילוב הביטוי הזה בטווח שבין 0 ל-x, נקבל

איפה אוֹתָם) - תזוזה צירית של חתך שרירותי (איור 3.7), ו C= ו( 0) - תזוזה צירית של הקטע הראשוני x = 0.אם קטע זה קבוע, אז u(0) = 0 והעקירה של קטע שרירותי היא

ההתארכות או הקיצור של המוט שווה לתזוזה הצירית של הקצה החופשי שלו (איור 3.7), שאת ערכה נקבל מ-(3.8), בהנחה x = 1:

מחליף בנוסחה (3.8) את הביטוי לדפורמציה? מחוק הוק (3.7), אנו מקבלים

למוט העשוי מחומר בעל מודול גמישות קבוע התזוזות ציריות נקבעות על ידי הנוסחה

ניתן לחשב את האינטגרל הכלול בשוויון זה בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא לכתוב בצורה אנליטית את הפונקציה אה)והשילוב לאחר מכן. השיטה השנייה מבוססת על העובדה שהאינטגרל הנדון שווה מספרית לשטח החלקה a בקטע.הצגת הסימון

בואו ניקח בחשבון מקרים מיוחדים. למוט שנמתח בכוח מרוכז ר(אורז. 3.3, א),כוח אורך. / V הוא קבוע לאורך ושווה ל ר.גם המתחים a לפי (3.4) קבועים ושווים ל

ואז מ-(3.10) נקבל

מנוסחה זו נובע שאם הלחצים על קטע מסוים של המוט הם קבועים, אזי התזוזות משתנות לפי חוק ליניארי. החלפה לתוך הנוסחה האחרונה x = 1,מצא את התארכות המוט:

עֲבוֹדָה EFשקוראים לו קשיחות המוט במתח ובדחיסה.ככל שערך זה גדול יותר, כך ההתארכות או הקיצור של המוט קטנה יותר.

שקול מוט תחת פעולת עומס בחלוקה אחידה (איור 3.8). הכוח האורך בחתך שרירותי, המרוחק במרחק x מההידוק, שווה ל

חלוקה נעל ו,אנו מקבלים את הנוסחה ללחצים

החלפת ביטוי זה לתוך (3.10) ושילוב, אנו מוצאים

התזוזה הגדולה ביותר, שווה להתארכות של המוט כולו, מתקבלת על ידי החלפת x = / לתוך (3.13):

מנוסחאות (3.12) ו-(3.13) ניתן לראות שאם הלחצים תלויים באופן ליניארי ב-x, אזי התזוזות משתנות לפי חוק פרבולה מרובעת. עלילות נ,אה ו ומוצג באיור. 3.8.

פונקציות קישור תלות דיפרנציאליות כלליות אוֹתָם)ו-a(x), ניתן לקבל מיחס (3.5). החלפת e מחוק הוק (3.7) ליחס זה, אנו מוצאים

מתלות זו נובעים, במיוחד, דפוסי השינוי בפונקציה המצוינים בדוגמאות לעיל אוֹתָם).

בנוסף, ניתן לציין שאם בקטע כלשהו הלחצים נעלמים, אז בתרשים וייתכן שיש קיצון בסעיף זה.

כדוגמה, בואו נבנה דיאגרמה ועבור המוט המוצג באיור. 3.2, לשים E- 10 4 MPa. חישוב שטחי חלקה על אודותעבור תחומים שונים, אנו מוצאים:

קטע x = 1 מ':

קטע x = 3 מ':

קטע x = 5 מ':

בחלק העליון של סרגל התרשים והוא פרבולה מרובעת (איור 3.2, ה).במקרה זה, יש קיצון בקטע x = 1 מ'. בחלק התחתון, אופי התרשים הוא ליניארי.

ההתארכות הכוללת של המוט, שבמקרה זה שווה ל

ניתן לחשב באמצעות נוסחאות (3.11) ו-(3.14). מאז החלק התחתון של המוט (ראה איור 3.2, א)נמתח בכוח R (התארכותו לפי (3.11) שווה ל

פעולת כוח R (מועבר גם לחלק העליון של המוט. בנוסף, הוא נדחס בכוח R 2ונמתח על ידי עומס המפוזר באופן אחיד ש.בהתאם לכך, השינוי באורכו מחושב על ידי הנוסחה

אם נסכם את הערכים של A/, ו-A/ 2, נקבל את אותה תוצאה כמו לעיל.

לסיכום, יש לציין שלמרות הערך המועט של תזוזות והתארכות (קיצורים) של מוטות במתח ודחיסה, לא ניתן להזניח אותם. היכולת לחשב כמויות אלו חשובה בבעיות טכנולוגיות רבות (למשל בהרכבת מבנים), וכן לפתרון בעיות סטטיות בלתי מוגדרות.

כפי שאתה יודע, הפיזיקה חוקרת את כל חוקי הטבע: מהעקרונות הפשוטים ביותר ועד הכלליים ביותר של מדעי הטבע. אפילו באותם תחומים שבהם, כך נראה, הפיזיקה לא מסוגלת להבין את זה, היא עדיין משחקת תפקיד ראשוני, וכל חוק הכי קטן, כל עיקרון - שום דבר לא חומק ממנו.

בקשר עם

הפיזיקה היא הבסיס ליסודות, היא זו שעומדת במקורות כל המדעים.

פיזיקה לומד את האינטראקציה של כל הגופים,גם קטן באופן פרדוקסלי וגם גדול להפליא. הפיזיקה המודרנית חוקרת באופן פעיל לא רק גופים קטנים, אלא היפותטיים, ואפילו זה שופך אור על מהות היקום.

הפיזיקה מחולקת לחלקים,זה מפשט לא רק את המדע עצמו ואת הבנתו, אלא גם את המתודולוגיה של המחקר. מכניקה עוסקת בתנועה של גופים ובאינטראקציה של גופים נעים, תרמודינמיקה עם תהליכים תרמיים, ואלקטרודינמיקה עם תהליכים חשמליים.

מדוע עיוות צריך להיחקר על ידי מכניקה

אם כבר מדברים על התכווצויות או מתחים, צריך לשאול את עצמו את השאלה: איזה ענף בפיזיקה צריך ללמוד את התהליך הזה? עם עיוותים חזקים ניתן לשחרר חום, אולי התרמודינמיקה צריכה להתמודד עם התהליכים האלה? לפעמים כשדוחסים נוזלים זה מתחיל לרתוח וכשדוחסים גזים נוצרים נוזלים? אז מה, ההידרודינמיקה צריכה ללמוד את הדפורמציה? או תיאוריה קינטית מולקולרית?

הכל תלוי על כוח הדפורמציה, על מידתו.אם המדיום הניתן לעיוות (חומר שנדחס או מתוח) מאפשר, והדחיסה קטנה, הגיוני להתייחס לתהליך זה כתנועה של נקודות מסוימות בגוף ביחס לאחרות.

ומכיוון שהשאלה היא אך ורק מודאגת, זה אומר שהמכונאים יתמודדו עם זה.

חוק הוק והתנאי ליישומו

בשנת 1660 גילה המדען האנגלי המפורסם רוברט הוק תופעה שניתן להשתמש בה כדי לתאר באופן מכני את תהליך העיוות.

על מנת להבין באילו תנאים מתקיים חוק הוק, אנו מגבילים את עצמנו לשתי אפשרויות:

• יום רביעי;
• כוח.

יש אמצעים כאלה (לדוגמה, גזים, נוזלים, במיוחד נוזלים צמיגים קרובים למצבים מוצקים או להיפך, נוזלים מאוד נוזליים) שאי אפשר לתאר עבורם את התהליך בצורה מכנית. ולהיפך, יש סביבות כאלה שבהן, עם כוחות גדולים מספיק, המכניקה מפסיקה "לעבוד".

חָשׁוּב!לשאלה: "באיזה תנאים מתקיים חוק הוק?", ניתן לתת תשובה נחרצת: "עבור עיוותים קטנים".

חוק הוק, הגדרה: העיוות המתרחש בגוף עומד ביחס ישר לכוח שגורם לעיוות זה.

מטבע הדברים, הגדרה זו מרמזת כי:

• דחיסה או מתח קטן;
• האובייקט אלסטי;
• הוא מורכב מחומר שאין בו תהליכים לא ליניאריים כתוצאה מדחיסה או מתח.

חוק הוק בצורה מתמטית

הניסוח של הוק, שהבאנו לעיל, מאפשר לכתוב אותו בצורה הבאה:

היכן השינוי באורך הגוף עקב דחיסה או מתח, F הוא הכוח המופעל על הגוף וגורם לעיוות (כוח אלסטי), k הוא מקדם האלסטיות, נמדד ב-N/m.

צריך לזכור שחוק הוק תקף רק למתיחות קטנות.

אנו גם מציינים שיש לו אותה צורה תחת מתח ודחיסה. בהינתן שהכוח הוא כמות וקטורית ויש לו כיוון, אז במקרה של דחיסה, הנוסחה הבאה תהיה מדויקת יותר:

אבל שוב, הכל תלוי לאן הציר יופנה, יחסית אליו אתה מודד.

מה ההבדל המהותי בין דחיסה למתיחה? כלום אם זה לא משמעותי.

ניתן לשקול את מידת הישימות בצורה הבאה:

בואו נסתכל על התרשים. כפי שניתן לראות, עם מתחים קטנים (הרבע הראשון של הקואורדינטות), במשך זמן רב לכוח עם הקואורדינטה יש קשר ליניארי (קו ישר אדום), אבל אז התלות האמיתית (קו מקווקו) הופכת לא ליניארית, וה החוק מפסיק להתקיים. בפועל, הדבר בא לידי ביטוי במתיחה כה חזקה שהקפיץ מפסיק לחזור למקומו המקורי ומאבד את תכונותיו. עם יותר מתיחה מתרחש שבר והמבנה קורסחוֹמֶר.

עם דחיסות קטנות (הרבע השלישי של הקואורדינטות), במשך זמן רב לכוח עם הקואורדינטה יש גם קשר ליניארי (קו אדום), אבל אז התלות האמיתית (קו מקווקו) הופכת לא ליניארית, והכל שוב מפסיק להיות להתגשם. בפועל, זה בא לידי ביטוי בדחיסה כל כך חזקה חום מתחיל להקריןוהמעיין מאבד את תכונותיו. עם דחיסה גדולה עוד יותר, סלילי הקפיץ "נדבקים" והוא מתחיל להתעוות אנכית, ואז נמס לחלוטין.

כפי שאתה יכול לראות, הנוסחה המבטאת את החוק מאפשרת לך למצוא את הכוח, לדעת את השינוי באורך הגוף, או, לדעת את כוח האלסטיות, למדוד את השינוי באורך:

כמו כן, במקרים מסוימים, אתה יכול למצוא את מקדם האלסטיות. כדי להבין כיצד זה נעשה, שקול משימה לדוגמה:

דינמומטר מחובר לקפיץ. היא נמתחה, תוך הפעלת כוח של 20, שבגללו החלה להיות לה אורך של מטר אחד. אחר כך שחררו אותה, המתינו עד שהרעידות יפסיקו, והיא חזרה למצבה הרגיל. במצב תקין, אורכו היה 87.5 סנטימטרים. בואו ננסה לברר מאיזה חומר עשוי הקפיץ.

מצא את הערך המספרי של עיוות הקפיץ:

מכאן נוכל לבטא את ערכו של המקדם:

לאחר הסתכלות בטבלה, נוכל לגלות כי מחוון זה מתאים לפלדה קפיצית.

בעיה במקדם האלסטיות

פיזיקה, כידוע, היא מדע מאוד מדויק, יתרה מכך, היא כל כך מדויקת שהיא יצרה מדעים יישומיים שלמים שמודדים טעויות. כסטנדרט של דיוק בלתי מעורער, היא לא יכולה להרשות לעצמה להיות מגושמת.

התרגול מראה שהתלות הליניארית שחשבנו היא לא יותר מאשר חוק הוק למוט דק ומתוח.רק כחריג ניתן להשתמש בו עבור קפיצים, אבל אפילו זה לא רצוי.

מסתבר שמקדם k הוא משתנה, שתלוי לא רק מאיזה חומר עשוי הגוף, אלא גם בקוטר ובמידות הליניאריות שלו.

מסיבה זו, המסקנות שלנו דורשות הבהרה ופיתוח, אחרת, הנוסחה:

לא יכול להיקרא שום דבר מלבד קשר בין שלושה משתנים.

המודולוס של יאנג

בואו ננסה להבין את מקדם הגמישות. פרמטר זה, כפי שגילינו, תלוי בשלוש כמויות:

• חומר (שמתאים לנו למדי);
• אורך L (מה שמעיד על התלות שלו);
• אזור S.

חָשׁוּב!כך, אם נצליח "להפריד" איכשהו את האורך L ואת השטח S מהמקדם, אז נקבל מקדם שתלוי לחלוטין בחומר.

מה שאנחנו יודעים:

• ככל ששטח החתך של הגוף גדול יותר, כך מקדם k גדול יותר והתלות היא ליניארית;
• ככל שאורך הגוף ארוך יותר, מקדם k קטן יותר והתלות פרופורציונלית הפוכה.

אז, נוכל לכתוב את מקדם הגמישות בצורה זו:

כאשר E הוא מקדם חדש, שכעת תלוי בדיוק אך ורק בסוג החומר.

הבה נציג את המושג "התארכות יחסית":

. 

סיכום

אנו מנסחים את חוק הוק למתח ודחיסה: בלחיצות נמוכות, המתח הרגיל עומד ביחס ישר להתארכות היחסית.

מקדם E נקרא מודול יאנג והוא תלוי אך ורק בחומר.

2.6. חוזק מתיחה

2.7. מצב כוח

3. גורמי כוח פנימיים (vsf)

3.1. המקרה של כוחות חיצוניים במישור אחד

3.2. קשרים בסיסיים בין כוח ליניארי q, כוח גזירה Qy ומומנט כיפוף Mx

זה מרמז על יחס שנקרא משוואת שיווי המשקל הראשונה של אלמנט האלומה

4. מגרשים vsf

5. כללים לשליטה בבניית דיאגרמות

6. מקרה כללי של מצב לחץ

6.1 מתח רגיל וגזירה

6.2. חוק זיווג מתחי הגזירה

7. דפורמציות

8. הנחות יסוד וחוקים המשמשים בחוזק של חומרים

8.1. הנחות יסוד בשימוש בחוזק החומרים

8.2. חוקי יסוד המשמשים בחוזק חומרים

בנוכחות הפרש טמפרטורה, הגוף משנה את גודלו, והוא עומד ביחס ישר להפרש הטמפרטורה הזה.

9. דוגמאות לשימוש בחוקי המכניקה לחישוב מבני בניין

9.1. חישוב מערכות סטטיות בלתי מוגדרות

9.1.1. עמוד בטון מזוין בלתי מוגדר סטטית

9.1.2 מתחים תרמיים

9.1.3. מתחי הרכבה

9.1.4. חישוב העמוד על פי תורת שיווי המשקל הגבול

9.2. תכונות של טמפרטורה ומתחי הרכבה

9.2.1. עצמאות של מתחים תרמיים בממדי הגוף

9.2.2. עצמאות של מתחי הרכבה על מידות הגוף

9.2.3. על מתחים תרמיים והרכבה במערכות קבועות סטטיות

9.3. עצמאות של העומס האולטימטיבי ממתחים ראשוניים מאוזנים

9.4. כמה תכונות של דפורמציה של מוטות במתח ודחיסה, תוך התחשבות בכוח הכבידה

9.5. חישוב אלמנטים מבניים עם סדקים

נוהל לחישוב גופים עם סדקים

9.6. חישוב מבנים לעמידות

9.6.1. עמידות עמוד בטון מזוין בנוכחות זחילת בטון

9.6.2. מצב של עצמאות של לחצים מהזמן במבנים העשויים מחומרים ויסקו אלסטיים

9.7 תורת הצטברות מיקרו נזק

10. חישוב מוטות ומערכות זיפים לקשיחות

מוטות מרוכבים

מערכות מוטות

10.1. נוסחת מוהר לחישוב תזוזה של מבנה

10.2. נוסחת מוהר למערכות בר

11. דפוסי הרס חומרי

11.1. סדירות של מצב מתח מורכב

11.2. תלות בעומסי גזירה

11.3. מדגיש עיקרי

תַחשִׁיב

11.4. סוגי הרס של חומרים

11.5 תיאוריות של חוזק לטווח קצר

11.5.1 תורת החוזק הראשונה

11.5.2 תורת החוזק השנייה

11.5.3. תורת החוזק השלישית (תיאוריית מתחי הגזירה המרביים)

11.5.4. התיאוריה הרביעית (אנרגיה)

11.5.5. תיאוריה חמישית - הקריטריון של מוהר

12. סיכום קצר של תיאוריות חוזק בבעיות חוזק של חומרים

13. חישוב מעטפת גלילית בהשפעת לחץ פנימי

14. כשל עייפות (חוזק מחזורי)

14.1. חישוב מבנים תחת עומס מחזורי באמצעות דיאגרמת Wöhler

14.2. חישוב מבנים בעומס מחזורי לפי תורת פיתוח סדקים

15. כיפוף קורה

15.1. מתחים רגילים. נוסחת Navier

15.2. קביעת מיקום הקו הנייטרלי (ציר x) בחתך

15.3 מודולוס

15.4 טעות של גלילאו

15.5 מתחי גזירה בקורה

15.6. מתחי גזירה באוגן I-beam

15.7. ניתוח נוסחאות ללחצים

15.8. אפקט אמרסון

15.9. פרדוקסים של הנוסחה של ז'ורבסקי

15.10. על מתחי הגזירה המקסימליים (τzy) מקסימום

15.11. חישובי חוזק אלומה

1. הרס על ידי שבר

2. הרס על ידי חתך (ריבוד).

3. חישוב הקורה לפי הלחצים העיקריים.

4. חישוב לפי תיאוריות חוזק III ו-IV.

16. חישוב הקורה לקשיחות

16.1. הנוסחה של מוהר להסטה

16.1.1 שיטות לחישוב אינטגרלים. נוסחאות טרפז וסימפסון

נוסחה טרפזית

נוסחת סימפסון

. חישוב סטיות על בסיס פתרון המשוואה הדיפרנציאלית של הציר הכפוף של הקורה

16.2.1 פתרון משוואת הדיפרנציאל של הציר המעוקל של הקורה

16.2.2 חוקי קלבש

16.2.3 תנאים לקביעת ג וד

דוגמה לחישוב סטייה

16.2.4. קורות על בסיס אלסטי. חוק וינקלר

16.4. משוואת הציר המעוגל של קורה על בסיס אלסטי

16.5. קורה אינסופית על בסיס אלסטי

17. אובדן יציבות

17.1 נוסחת אוילר

17.2 תנאי עיגון אחרים.

17.3 גמישות אולטימטיבית. מוט ארוך.

17.4 הנוסחה של יאסינסקי.

17.5 חבטות

18. פיתול פיר

18.1. פיתול של פירים עגולים

18.2. מתחים בקטעי פיר

18.3. חישוב הפיר לקשיחות

18.4. פיתול חופשי של מוטות דקים

18.5. מתחים במהלך פיתול חופשי של מוטות דקים בעלי פרופיל סגור

18.6. זווית פיתול של סורגים דקים בעלי פרופיל סגור

18.7. פיתול של מוטות פרופיל פתוחים

19. דפורמציה מורכבת

19.1. עלילות של גורמי כוח פנימיים (ISF)

19.2. מתיחה עם עיקול

19.3. מתחי מתיחה מקסימליים עם כיפוף

19.4 עיקול אלכסוני

19.5. בדיקת חוזק מוטות עגולים בפיתול עם כיפוף

19.6 דחיסה אקסצנטרית. גרעין המדור

19.7 בניית גרעין מדור

20. משימות דינמיות

20.1. מכה

20.2 היקף נוסחת הגורם הדינמי

ביטוי המקדם הדינמי במונחים של מהירות הגוף הפוגע

20.4. עקרון ד'אלמבר

20.5. רעידות של מוטות אלסטיים

20.5.1. רעידות חינם

20.5.2. רעידות מאולצות

דרכים להתמודד עם תהודה

20.5.3 תנודות מאולצות של מוט דחוס

21. תורת שיווי המשקל הגבול ושימושו בחישוב מבנים

21.1. בעיית כיפוף קרן הרגע האולטימטיבי.

21.2. יישום תורת שיווי המשקל הגבול לחישוב

סִפְרוּת

תוֹכֶן

8.2. חוקי יסוד המשמשים בחוזק חומרים

יחסים של סטטיקה. הם כתובים בצורה של משוואות שיווי המשקל הבאות.

חוק הוק ( 1678): ככל שהכוח גדול יותר, כך העיוות גדול יותר, ויותר מכך, הוא ביחס ישר לכוח. מבחינה פיזית, זה אומר שכל הגופים הם קפיצים, אבל עם קשיחות רבה. עם מתח פשוט של הקורה על ידי כוח האורך נ= וחוק זה יכול להיכתב כך:

כאן
כוח אורך, ל- אורך סרגל, אבל- שטח החתך שלו, ה- מקדם גמישות מהסוג הראשון ( המודולוס של יאנג).

בהתחשב בנוסחאות של מתחים ומתחים, חוק הוק כתוב כך:
.

קשר דומה נצפה בניסויים בין מתחי גזירה וזווית הגזירה:

.

G שקוראים לומודול גזירה , לעתים רחוקות יותר - מודול האלסטי מהסוג השני. כמו לכל חוק, יש לו גבול תחולה וחוק הוק. מתח
, עד אשר החוק של הוק תקף, נקרא גבול המידתיות(זה המאפיין החשוב ביותר ב-sopromat).

בואו נתאר את התלות  מ  באופן גרפי (איור 8.1). הציור הזה נקרא דיאגרמת מתיחה . אחרי נקודה ב' (כלומר ב
), התלות הזו כבר אינה לינארית.

בְּ
לאחר הפריקה מופיעים עיוותים שיוריים בגוף, לכן שקוראים לו גבול אלסטי .

כאשר המתח מגיע לערך σ = σ t, מתכות רבות מתחילות להפגין תכונה הנקראת נְזִילוּת. המשמעות היא שגם בעומס קבוע, החומר ממשיך להתעוות (כלומר מתנהג כמו נוזל). מבחינה גרפית, המשמעות היא שהתרשים מקביל לאבשיסה (חלקת DL). המתח σ t שבו החומר זורם נקרא חוזק תשואה .

חומרים מסוימים (אמנות 3 - פלדת בניין) לאחר זרימה קצרה מתחילים להתנגד שוב. ההתנגדות של החומר ממשיכה עד לערך מרבי מסוים σ pr, ואז מתחילה הרס הדרגתי. הערך σ pr - נקרא חוזק מתיחה (מילה נרדפת לפלדה: חוזק מתיחה, לבטון - חוזק מעוקב או מנסרתי). נעשה שימוש גם בכינויים הבאים:

=ר ב

תלות דומה נצפית בניסויים בין מתחים משיקים לגזירה.

3) חוק דוגמל-נוימן (התפשטות תרמית ליניארית):

בנוכחות הפרש טמפרטורה, הגוף משנה את גודלו, והוא עומד ביחס ישר להפרש הטמפרטורה הזה.

שיהיה הבדל טמפרטורה
. אז החוק הזה מקבל את הצורה:

כאן α - מקדם התפשטות תרמית ליניארית, ל - אורך המוט, Δ ל- התארכותו.

4) חוק הזחילה .

מחקרים הראו שכל החומרים הם מאוד לא הומוגניים בקטן. המבנה הסכמטי של הפלדה מוצג באיור 8.2.

לחלק מהרכיבים יש תכונות נוזליות, ולכן חומרים רבים בעומס מקבלים התארכות נוספת לאורך זמן.
(איור 8.3.) (מתכות בטמפרטורות גבוהות, בטון, עץ, פלסטיק - בטמפרטורות רגילות). תופעה זו נקראת זחילהחוֹמֶר.

לגבי נוזל, החוק נכון: ככל שהכוח גדול יותר, כך מהירות הגוף בנוזל גדולה יותר. אם הקשר הזה הוא ליניארי (כלומר הכוח הוא פרופורציונלי למהירות), אז זה יכול להיכתב כך:

ה
אם נעבור לכוחות יחסיים ולהתארכות יחסית, נקבל

הנה האינדקס" cr " פירושו שנחשב החלק של ההתארכות שנגרם על ידי זחילת החומר. מאפיין מכני נקרא מקדם צמיגות.

חוק שימור האנרגיה.

קחו בחשבון קרן עמוסה

הבה נציג את הרעיון של הזזת נקודה, למשל,

- תנועה אנכית של נקודה B;

- היסט אופקי של נקודה C.

כוחות
תוך כדי עבודה מסוימת U. בהתחשב בכך הכוחות
מתחילים לעלות בהדרגה ובהנחה שהם גדלים ביחס לתזוזות, אנו מקבלים:

.

על פי חוק השימור: שום עבודה לא נעלמת, היא מבזבזת על עבודה אחרת או נכנסת לאנרגיה אחרת (אֵנֶרְגִיָההיא העבודה שהגוף יכול לעשות.

עבודת הכוחות
, מושקע על התגברות על ההתנגדות של הכוחות האלסטיים המתעוררים בגופנו. כדי לחשב עבודה זו, אנו לוקחים בחשבון שניתן לראות בגוף מורכב מחלקיקים אלסטיים קטנים. הבה נשקול אחד מהם:

מהצד של חלקיקים שכנים, פועל עליו לחץ . הלחץ כתוצאה מכך יהיה

תחת ההשפעה החלקיק מוארך. בהגדרה, התארכות היא ההתארכות ליחידת אורך. לאחר מכן:

בואו לחשב את העבודה dWשהכוח עושה dN (כאן גם נלקח בחשבון שהכוחות dNמתחילים לעלות בהדרגה והם גדלים ביחס לתזוזות):

עבור כל הגוף אנו מקבלים:

.

עֲבוֹדָה Wמְחוּיָב , שקוראים לו אנרגיית דפורמציה אלסטית.

על פי חוק שימור האנרגיה:

6)עִקָרוֹן תנועות אפשריות .

זו אחת הדרכים לכתוב את חוק שימור האנרגיה.

תן לכוחות לפעול על הקורה ו 1 , ו 2 , … . הם גורמים לנוע לנקודות בגוף
ומתח
. בואו ניתן את הגוף תזוזות קטנות אפשריות נוספות
. במכניקה, תיעוד הטופס
פירושו הביטוי "ערך אפשרי של הכמות א". תנועות אפשריות אלו יגרמו בגוף עיוותים אפשריים נוספים
. הם יובילו להופעת כוחות ומתחים חיצוניים נוספים.
, δ.

הבה נחשב את העבודה של כוחות חיצוניים על תזוזות קטנות אפשריות נוספות:

כאן
- תזוזות נוספות של אותן נקודות בהן מופעלים כוחות ו 1 , ו 2 , …

שקול שוב אלמנט קטן עם חתך רוחב dA ואורך dz (ראה איור 8.5. ו-8.6). על פי ההגדרה, התארכות נוספת  dzשל אלמנט זה מחושב על ידי הנוסחה:

dz=  dz.

כוח המתיחה של האלמנט יהיה:

dN = (+δ) dA ≈  dA..

עבודת הכוחות הפנימיים על תזוזות נוספות מחושבת עבור אלמנט קטן באופן הבא:

dW = dN  dz = dA dz =  dV

מ
בסיכומו של אנרגיית המתח של כל היסודות הקטנים, נקבל את אנרגיית המתח הכוללת:

חוק שימור האנרגיה W = Uנותן:

.

יחס זה נקרא עקרון התנועות האפשריות(המכונה גם עקרון תנועות וירטואליות).באופן דומה, אנו יכולים לשקול את המקרה שבו פועלים גם מתחי גזירה. אז ניתן להשיג את אנרגיית המתח Wהוסף את המונח הבא:

כאן  - מתח גזירה,  - גזירה של אלמנט קטן. לאחר מכן עקרון התנועות האפשריותיקבל את הטופס:

בשונה מהצורה הקודמת של כתיבת חוק שימור האנרגיה, אין כאן הנחה שהכוחות מתחילים לגדול בהדרגה, והם גדלים ביחס לתזוזות

7) אפקט פויסון.

שקול את דפוס ההתארכות של המדגם:

התופעה של קיצור של אלמנט גוף על פני כיוון ההתארכות נקראת אפקט פויסון.

הבה נמצא את העיוות היחסי האורך.

העיוות היחסי הרוחבי יהיה:

מקדם פואסוןכמות נקראת:

לחומרים איזוטריים (פלדה, ברזל יצוק, בטון) יחס פואסון

זה אומר שבכיוון הרוחבי הדפורמציה פָּחוּתאֹרכִּי.

הערה : טכנולוגיות מודרניות יכולות ליצור חומרים מרוכבים עם יחס Poisson > 1, כלומר, העיוות הרוחבי יהיה גדול יותר מזה האורכי. לדוגמה, זה המקרה עבור חומר מחוזק בסיבים קשים בזווית נמוכה.
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, כלומר כמה שפחות , כך היחס של Poisson גדול יותר.

איור.8.8. איור.8.9

מפתיע עוד יותר הוא החומר המוצג (איור 8.9.), ולחיזוק כזה מתרחשת תוצאה פרדוקסלית - התארכות אורכית מובילה לגידול בגודל הגוף בכיוון הרוחבי.

8) כללי את חוק הוק.

שקול אלמנט שנמתח בכיווני האורך והרוחב. הבה נמצא את הדפורמציה הנובעת בכיוונים אלה.

חשב את הדפורמציה הנובע מהפעולה :

שקול את העיוות מהפעולה , הנובע מאפקט הפואסון:

העיוות הכולל יהיה:

אם זה עובד ו , ואז הוסף קיצור אחד נוסף בכיוון ציר ה-x
.

כתוצאה מכך:

באופן דומה:

יחסים אלו נקראים הכליל את חוק הוק.

מעניין שכאשר כותבים את חוק הוק, מניחים הנחה לגבי עצמאותם של מתני התארכות ממתי גזירה (על חוסר תלות במתח גזירה, שזה אותו דבר) ולהיפך. ניסויים מאששים היטב הנחות אלו. במבט קדימה, נציין כי החוזק, להיפך, תלוי מאוד בשילוב של גזירה ומתחים רגילים.

הערה: החוקים וההנחות לעיל מאוששים על ידי ניסויים ישירים ועקיפים רבים, אך, כמו כל שאר החוקים, יש להם תחום תחולה מוגבל.