סט בהזמנה חלקית. סט מסודר חלקי ראה את המשמעות של סט מסודר היטב במילונים אחרים.

קונספט הממציא רעיונות אינטואיטיביים של סדר, רצף וכו'. באופן לא רשמי, קבוצה מסודרת באופן חלקי אם מצוין אילו אלמנטים לעקוב אחר (יותרוכו') בשביל מה. במקרה זה, במקרה הכללי, עשוי להתברר שכמה זוגות של אלמנטים אינם מחוברים על ידי מערכת היחסים "עוקבים".

דוגמה מופשטת היא אוסף תת-קבוצות של קבוצה של שלושה אלמנטים $$x, y, z$$ , מסודר לפי הכללה.

כדוגמה "מהחיים" אנחנו יכולים לתת להרבה אנשים מסודרים לפי היחס "להיות אב קדמון".

הגדרה ודוגמאות

להזמין, או סדר חלקי, על הסט $M$ נקרא יחס בינארי $\varphi$ על $M$ (מוגדר על ידי סט כלשהו $R_(\varphi) \subset M \times M$ ) שעומד בתנאים הבאים:

רפלקסיביות: $\forall a \; (a \varphi a)$
טרנזיטיביות: $\forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c$
אנטי סימטריה: $\forall a, b \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \rightarrow a = b$

הרבה $M$ , שעליו ניתן יחס הסדר החלקי, נקרא הוזמן חלקית(אנגלית) סט מסודר חלקית, מיקום). ליתר דיוק, אז סט מסודר חלקית הוא זוג $\langle M, \varphi \rangle$ , איפה $M$ - סט, ו $\varphi$ - יחס סדר חלקי על $M$ .

טרמינולוגיה וסימון

יחס הסדר החלקי מסומן בדרך כלל על ידי הסמל $\leqslant$ , באנלוגיה ליחס "פחות או שווה ל" על קבוצת המספרים הממשיים. יחד עם זאת, אם $a \leqslant ב$ , אז אנחנו אומרים שהאלמנט $א$ אינו עולה על $ב$ , או מה $א$ כָּפוּף $ב$ .

אם $a \leqslant ב$ ו $a \neq b$ , ואז הם כותבים $א< b$ , והם אומרים את זה $א$ פָּחוּת $ב$ , או מה $א$ כפוף למהדרין $ב$ .

לפעמים, על מנת להבחין בין סדר שרירותי בקבוצה כלשהי לבין יחס ידוע של "פחות או שווה" בקבוצת המספרים הממשיים, במקום $\leqslant$ ו $<$ להשתמש בתווים מיוחדים $\preccurlyeq$ ו $\prec$ בהתאמה.

סדר קפדני ולא קפדני

יחס המקיים את התנאים של רפלקסיביות, טרנזיטיביות ואנטי-סימטריה נקרא גם רָפֶה, או סדר רפלקסיבי. אם תנאי הרפלקסיביות מוחלף בתנאי אנטי רפלקסיביות:

$\forall a \; \neg (a \varphi a)$

ואז נקבל את ההגדרה קַפְּדָנִי, או סדר אנטי-רפלקסיבי.

אם $\leqslant$ - סדר לא קפדני על הסט $M$ , ואז היחס $<$ , מוגדר כ:

$א< b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$

הוא צו קפדני על $M$ . לעומת זאת, אם $<$ - סדר קפדני, ואז יחס $\leqslant$ מוגדר כ

$a \leqslant b \; \overset(\mathrm(def))(\Longleftrightarrow) \; (א< b) \vee (a = b)$

הוא צו לא קפדני.

לכן, הכל אותו דבר - לציין סדר לא קפדני על הסט, או סדר קפדני. התוצאה היא אותו מבנה. ההבדל הוא רק בטרמינולוגיה ובסימונים.

דוגמאות

$\vartriangleright$ כפי שהוזכר לעיל, קבוצת המספרים האמיתיים $\mathbb(R)$ מסודר חלקית לפי פחות או שווה ל $\leqslant$ .

$\vartriangleright$ תן $M$ - קבוצת כל הפונקציות בעלות הערך האמיתי המוגדרות בקטע , כלומר, פונקציות של הצורה

f \colon \to \mathbb(R)

אנו מציגים את יחס הסדר $\leqslant$ על $M$ בדרך הבאה. אנחנו נגיד את זה $f \leqslant g$ אם לכולם $x\in$ את אי השוויון $f(x)\leqslant g(x)$ . ברור שהיחס שהוצג הוא אכן יחס סדר חלקי.

$\vartriangleright$ תן $M$ - סט כלשהו. הרבה $\mathcal(P)(M)$ כל קבוצות המשנה $M$ (מה שנקרא בוליאני), מסודר חלקית על ידי הכללה $M \subseteq N$ .

$\vartriangleright$ קבוצת כל המספרים הטבעיים $\mathbb(N)$ מסודר חלקית לפי חלוקה $m \mid n$ .

הגדרות קשורות

אלמנטים שאין דומה להם

אם $א$ ו $ב$ הם מספרים ממשיים, אז מתקיים אחד ויחיד מהיחסים הבאים:

א< b, \qquad a=b, \qquad b

אם $א$ ו $ב$ הם אלמנטים של קבוצה שרירותית מסודרת חלקית, אז יש אפשרות לוגית רביעית: אף אחד משלושת היחסים הללו אינו מרוצה. במקרה זה, האלמנטים $א$ ו $ב$ שקוראים לו שאין להשוות. לדוגמה, אם $M$ - קבוצת הפונקציות בעלות ערך אמיתי על המקטע , ואז האלמנטים $f(x) = x$ ו $g(x) = 1-x$ יהיה ללא השוואה. האפשרות לקיומם של יסודות שאין דומה להם מסבירה את משמעות המונח "סט מסודר חלקית".

מינימום/מקסימום והמינימום/גדולים ביותר

מאמרים עיקריים: מקסימום (מתמטיקה) , מינימום (מתמטיקה)

בשל העובדה שקבוצה מסודרת חלקית יכולה לכלול זוגות של אלמנטים שאין דומה להם, מוצגות שתי הגדרות שונות: אלמנט מינימוםו האלמנט הקטן ביותר.

אֵלֵמֶנט $a \in M$ שקוראים לו מִינִימָלִי(אנגלית) אלמנט מינימלי) אם האלמנט אינו קיים $ב< a$ . במילים אחרות, $א$ - האלמנט המינימלי, אם עבור אלמנט כלשהו $b \in M$ אוֹ $b>א$ , או $b=a$ , או $ב$ ו $א$ שאין להשוות. אֵלֵמֶנט $א$ שקוראים לו הכי פחות(אנגלית) אלמנט קטן, גבול תחתון (גב. עליון) ) אם עבור אלמנט כלשהו $b \in M$ יש אי שוויון $b \geqslant א$ . ברור שכל אלמנט הכי קטן הוא גם מינימלי, אבל ההיפך אינו נכון באופן כללי: האלמנט המינימלי $א$ אולי לא הקטן ביותר אם יש אלמנטים $ב$ , לא ניתן להשוואה עם $א$ .

ברור שאם יש אלמנט הכי קטן בסט, אז הוא ייחודי. אבל יכולים להיות כמה אלמנטים מינימליים. כדוגמה, שקול את הסט $\mathbb(N)\setminus $ 1 $ = $ 2, 3, \ldots $$ מספרים טבעיים ללא אחדות, מסודרים לפי חלוקה $\בֵּינוֹנִי$ . כאן, האלמנטים המינימליים יהיו מספרים ראשוניים, אך האלמנט הקטן ביותר אינו קיים.

המושגים מַקסִימוּם(אנגלית) אלמנט מקסימלי) ו הגדול ביותר(אנגלית) האלמנט הגדול ביותר) אלמנטים.

פנים עליונים ותחתונים

תן $א$ - קבוצת משנה של קבוצה מסודרת חלקית $\langle M, \leqslant\rangle$ . אֵלֵמֶנט $u \in M$ שקוראים לו פנים עליונות(אנגלית) גבול עליון) $א$ אם אלמנט כלשהו $a\in A$ אינו עולה על $u$ . הרעיון פנים תחתונים(אנגלית) חסם תחתון) סטים $א$ .

כל רכיב שגדול יותר מגבול עליון כלשהו $א$ , יהיה גם הגבול העליון $א$ . וכל אלמנט פחות מאיזה גבול תחתון $א$ , יהיה גם הגבול התחתון $א$ . שיקולים אלו מובילים להכנסת המושגים לפחות פנים עליון(אנגלית) הגבול העליון לפחות) ו הפנים התחתונות הגדולות ביותר(אנגלית) הגבול התחתון הגדול ביותר).

סוגים מיוחדים של סטים בהזמנה חלקית

סטים מסודרים באופן ליניארי

מאמר מרכזי: סט מסודר ליניארי

תן $\langle M, \leqslant\rangle$ הוא סט מסודר חלקית. אני סנפיר $M$ כל שני אלמנטים ניתנים להשוואה, ואז הסט $M$ שקוראים לו מסודר באופן ליניארי(אנגלית) סט מסודר ליניארי). קבוצה מסודרת ליניארי נקראת גם מסודר בצורה מושלמת(אנגלית) סט מסודר לחלוטין), או בפשטות, סט שהוזמן. כך, בקבוצה מסודרת ליניארית, עבור כל שני אלמנטים $א$ ו $ב$ אחד ויחיד מהבאים מתקיים: או $א, או א=ב, או ב .$

כמו כן, כל תת-קבוצה מסודרת ליניארית של קבוצה מסודרת חלקית נקראת שַׁרשֶׁרֶת(אנגלית) שַׁרשֶׁרֶת), כלומר, שרשרת בסט מסודר חלקית $\langle M, \leqslant \rangle$ היא תת-הקבוצה שלה שבה כל שני אלמנטים ניתנים להשוואה.

מבין הדוגמאות של קבוצות מסודרות חלקית לעיל, רק קבוצת המספרים הממשיים מסודרת באופן ליניארי. קבוצת הפונקציות בעלות ערך אמיתי על פלח (בתנאי $א), בוליאני \mathcal(P)(M) (בְּ |M|\geqslant 2), מספרים טבעיים בעלי יחס חלוקה אינם מסודרים ליניארי.$

בקבוצה מסודרת ליניארית, המושגים של מינימום ומינימום, כמו גם הגדול והמקסימום, זהים.

סטים מסודרים היטב

מאמר מרכזי: סט מסודר היטב

קבוצה מסודרת ליניארי נקראת די מסודר(אנגלית) מסודר היטב) אם לכל אחת מתת-הקבוצות הלא ריקות שלה יש את האלמנט הקטן ביותר . בהתאם, נקרא הסדר על הסט בסדר מלא(אנגלית) מסדר היטב).

דוגמה קלאסית לקבוצה מסודרת היטב היא קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb(N)$ . הקביעה שכל תת-קבוצה לא ריקה $\mathbb(N)$ מכיל את היסוד הקטן ביותר, שווה ערך לעקרון האינדוקציה המתמטית. דוגמה לקבוצה מסודרת באופן ליניארי אך לא לגמרי מסודרת היא קבוצת המספרים הלא שליליים $\mathbb(R)_(+) = $ x: x \geqslant 0$$ . אכן, תת-הקבוצה שלו $$x: x > 1$$ אין האלמנט הקטן ביותר.

סטים מסודרים היטב ממלאים תפקיד חשוב במיוחד בתורת הקבוצות הכללית.

משפטים על קבוצות מסודרות חלקית

בין משפטי היסוד על קבוצות מסודרות חלקית הם עקרון מקסימום האוסדורףו הלמה של קוראטובסקי-זורן. הצהרות אלו שוות זו לזו ובעיקרן מסתמכות על מה שנקרא אקסיומת הבחירה (למעשה, הן שוות ערך לאקסיומה של בחירה).

הערות

סִפְרוּת

אלכסנדרוב פ.ס.מבוא לתורת הקבוצות ולטופולוגיה כללית. - מ.: "נאוקה", 1977. - 368 עמ'.

Kolmogorov A. N., Fomin S. V.יסודות תורת הפונקציות וניתוח פונקציונלי. - מהדורה 7. - מ.: "FIZMATLIT", 2004. - 572 עמ'. - ISBN 5-9221-0266-4
האוסדורף פ.תורת הקבוצות. - מהדורה רביעית. - מ.: URSS, 2007. - 304 עמ'. - ISBN 978-5-382-00127-2

ראה גם

סָרִיג
מספר סדורי
הזמנה מראש

cs:Uspořádaná množinaeo:Partordohu:Részbenrendezett halmazko:부분순서 nl:Partiële orde oc:Relacion d"òrdre ro:Relaţie de ordine sl:Relacija urejenostizh:关系关系

הוֹדָעָה: הבסיס המקדים למאמר זה היה מאמר דומה ב-http://ru.wikipedia.org, תחת התנאים של CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, שהיה לאחר מכן שונה, תוקן ונערך.

קבוצה P עם יחס בינארי שהוגדר עליו המקיים את התנאים הבאים: 4) בכל תת-קבוצה לא ריקה ~ ישנו אלמנט a כזה שעבור כולם; כך V. at. m. הוא קבוצה מסודרת ליניארית העומדת בתנאי המינימליות. הקונספט של V. at. מ' הוצג על ידי ג' קנטור. הדוגמה של ו' ב. מ' היא קבוצת המספרים הטבעיים המסודרת באופן טבעי. מצד שני, קטע של מספרים ממשיים עם סדר טבעי אינו V. u. מ. כל תת-קבוצה של V. ב. מ' עצמו מסודר למדי. מכפלה קרטזיאנית של מספר סופי V. u. מ' מסודרת לחלוטין על ידי יחס הסדר הלקסיקוגרפי. קבוצה מסודרת ליניארי מסודרת היטב אם ורק אם היא אינה מכילה תת-קבוצה שהיא אנטי-איזמורפית (ראה אנטי-איזמורפיזם של קבוצות מסודרות חלקית) לקבוצת המספרים הטבעיים. האלמנט הקטן ביותר של V. at. מ' רנז. אפס (ומסומן ב-0). עבור כל אלמנט, הסט של הקטע הראשוני של קבוצת P. עבור כל אלמנט a שאינו הגדול ביותר ב-P, יש אלמנט מיד אחריו; זה בדרך כלל מסומן על ידי a+1. אלמנט V. ב. מ', שאין לו מיד קודם, נקרא הגבול. משפט השוואה. עבור כל שני V. ב. מ. P1 ו-P2, אחד ויחיד מהמצבים הבאים מתרחש: 1) P 1 הוא איזומורפי ל-P 2, 2) P 1 הוא איזומורפי לקטע ראשוני כלשהו של הסט P 2, 3) P 2 הוא איזומורפי לקטע הראשוני של הסט P1. אם לוקחים את האקסיומה בין האקסיומות של תורת קבוצות הבחירה, אפשר להוכיח שבכל קבוצה לא ריקה אפשר להכניס יחס סדר שהופך אותו ל-V.u. מ' (כלומר, ניתן להזמין כל סט שאינו ריק לחלוטין). משפט זה, הנקרא משפט זרמלו, מקביל למעשה לאקסיומה של הבחירה. משפט זרמלו ומשפט ההשוואה משמשים בסיס להשוואת קבוצות לפי הקרדינליות שלהן. טיפוסי סידור ו' ב. M. טרנססופיות, או מספרים טרנססופיים. ליט.: חזן ג', "מת. אן.", תרמ"ג, בד כ"א, ש' 51-8; Alexandrov PS, מבוא לתיאוריה הכללית של קבוצות ופונקציות, מוסקבה-לנינגרד, 1948; HausdorfF., תורת הקבוצות, טרנס. מגרמנית, מ'-ל', 1937; Bourbaki N., תורת הקבוצות, טרנס. מצרפתית, מוסקבה, 1965; Kuratovsky K., Mostovsky A., תורת הקבוצות, תורגם מאנגלית, מוסקבה, 1970. B. A. Efimov, T. S. Fofanova.

ערך שעון סט מסודר היטבבמילונים אחרים

הרבה- משקל
קהלים
תהום
תהום
אפל
חושך חשוך
חושך של נושאים
ערימה
מי
קרון רכבת
פְּרִיצַת דֶרֶך
מוות
כוח
מילון מילים נרדפות

דַי- עו"ד שלם, שלם, חסר, ללא מידה. למדוד לחלוטין. | שופע, מספיק, מספיק. הם חיים טוב. | הכל בלי זכר, במלואו, לגמרי, בכלל, מספיק.........
מילון ההסבר של דאל

הרבה- להרבות וכו', לראות רבים.
מילון ההסבר של דאל

הרבה— המונים, ראה. (סֵפֶר). 1. יחידות בלבד מספר גדול ללא הגבלה של משהו. עובדים. עובדות. שמעתי הרבה זמרים גדולים בחיי. נקרסוב. 2. צבר........
מילון הסבר של אושקוב

לגמרי אדוורב.- 1. לגמרי, לגמרי, לגמרי.
מילון הסבר של אפרמובה

לא ממש עו"ד. Razg.- 1. לא לגמרי.
מילון הסבר של אפרמובה

דַי- עו"ד לגמרי, מאוד, לגמרי. מרוצה מההסבר. אדם ראוי. תן לי לא ליהנות לגמרי מהשמחה. פושקין.
מילון הסבר של אושקוב

דַי- עו"ד לגמרי, לגמרי, לגמרי. ו' מרוצה. ו' מוכן. ב.תשובה נחרצת. ב.די.
מילון הסבר של קוזנצוב

הרבה- -א; ראה.
1. מספר גדול מאוד, מספר של מישהו, משהו. מ' אנשים. מ' עובדות. לגדל מ' פרחים. הראיות הן בשפע. דוגמאות מעולות (מאוד........
מילון הסבר של קוזנצוב

סט נגיש- צמדי תשואה צפויה וסטיית תקן אפשרית של כל התיקים שניתן לעשות מסט נתון של נכסים.
מילון כלכלי

סט אפשרי (או סט הזדמנויות))- מערך תיקים שניתן ליצור מניירות הערך הנחשבים על ידי המשקיע.
מילון כלכלי

הרבה- קבוצה של אלמנטים, פרמטרים, משולבים לפי כמה
סִימָן
מילון כלכלי

סט פתרונות אפשריים- השטח שבתוכו ניתן לייצר אותו
בחירת פתרונות, מוגבלת על ידי היעדים שנקבעו והמשאבים הזמינים.
מילון כלכלי

סט אוניברסלי- , במתמטיקה - SET המכיל את כל האלמנטים בעלי תכונה מסוימת. נקראת גם קבוצה היפותטית, שאמורה לכלול את כל האפשרויות ........
מילון אנציקלופדי מדעי וטכני

הרבה- במתמטיקה, ראה תורת הקבוצות.

אין ספור רבים- מושג תורת הקבוצות; קבוצה אינסופית שהקרדינליות שלה גדולה מהקרדינליות של קבוצה הניתנת לספירה. לדוגמה, קבוצת כל המספרים הממשיים היא קבוצה בלתי ניתנת לספור.
מילון אנציקלופדי גדול

סט ריק- מושג תורת הקבוצות; קבוצה ריקה - קבוצה שאינה מכילה אלמנט כלשהו; מסומן? או 0. המושג של קבוצה ריקה (כמו המושג "אפס") עולה........
מילון אנציקלופדי גדול

סט ניתן לספירה- מושג תורת הקבוצות; קבוצה ניתנת לספירה היא קבוצה אינסופית שניתן למנות את היסודות שלה לפי מספרים טבעיים. קבוצת כל המספרים הרציונליים...........
מילון אנציקלופדי גדול

סיבות הכרחיות מעטות או רבות- סכמה סיבתית שמספקת לפחות שתי סיבות להסבר מה קורה.
מילון סוציולוגי

כמה או הרבה סיבות משביעות רצון- תכנית סיבתית שפועלת אם, בהיעדר מידע ראשוני כלשהו, המצב מספק אפשרות למגוון פרשנויות, ........
מילון סוציולוגי

כיתה, קבוצה (בלוגיקה ומתמטיקה)- - אוסף סופי או אינסופי של עצמים, הבודדים לפי תכונתם המשותפת (רכוש או יחס), שניתן להעלות על הדעת כמשהו שלם. החפצים המרכיבים את ק., ........
מילון פילוסופי

סט מטושטש- - סט עם גבולות מטושטשים, כאשר המעבר מהשתייכות לסט לאי שייכות לסט מתרחש בהדרגה, לא בחדות. בקלאסיקה...
מילון פילוסופי

סט רגילראה: סתירה בהגדרה מפורשת.
מילון פילוסופי

לַחֲלוּטִין- לגמרי, עו"ד. לגמרי, לגמרי. ו' מרוצה.
מילון הסבר של אוז'גוב

הרבה- שפע, -א, ראה. 1. מספר גדול מאוד, מספר של מישהו-משהו. מ' אנשים. מקרים מ. הרבה מניות. 2. במתמטיקה: אוסף של יסודות משולבים ........
מילון הסבר של אוז'גוב

IV Yashchenko פרדוקסים של תורת הקבוצות

8. סטים מסודרים היטב

קחו בחשבון את הסט M, על אודות כמהזוגות א, בשהיסודות שלו ידועים א Ј ב(כלומר על הסט Mנָתוּן יחס הזמנה). ניתן לפרש את יחס הסדר כתת-קבוצה של הריבוע של הקבוצה M 2 = M× M: בטבלה שהשורות והעמודות שלה מתאימות לרכיבי הסט M, חלק מהתאים מוצללים - אם התא בצומת העמודה מוצלל אוקווים ב, לאחר מכן א Ј ב.

יחס הזמנה הוא, כמובן, לא סתם תת-קבוצה M× M, עליו לעמוד במאפיינים הבאים:

1) א Ј אלכל אחד א O M;

2) אם א Ј בו ב Ј ג, לאחר מכן א Ј ג;

3) אם א Ј בו ב Ј א, לאחר מכן א = ב.

יחסי סדר הם, למשל, ההשוואה הרגילה של מספרים על קו ישר (Ј), קינון של קבוצות (H), היחס "מתחלק" ( א | ב – אמחלקים ב).

לפעמים, מתוך יחס הסדר, אתה רוצה למלא עוד כמה מאפיינים נוספים, למשל, אם אין אלמנטים בלתי ניתנים להשוואה, כלומר בערך שני אלמנטים כלשהם או באפשר לטעון שגם כך א Ј ב, או ב Ј א, ואז ההזמנה של הסט נקראת סדר ליניארי: ניתן לסדר את כל הרכיבים של הסט בסדר עולה.

בריצה קצת קדימה, אנו אומרים שסדר האלמנטים של הסט הכרחי, במיוחד, כדי להיות מסוגל לשקול חפצים על ידי אינדוקציה: אני רוצה להיות מסוגל תחילה לשקול את האלמנט הראשון, להוכיח משפט כלשהו עבורו, ולאחר מכן, באמצעות העובדה שהמשפט הזה נכון עבור הראשון נאלמנטים, פלט אותו ועבור ( נ+ 1) ה. לגבי מספרים טבעיים, ההוכחה לעקרון האינדוקציה המתמטית מסתמכת על העובדה שלכל תת-קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים יש האלמנט הקטן ביותר .

אורז. ארבע

מיחס סדר שרירותי וקבוצה שרירותית, אנו רוצים להגשים תכונה דומה: בכל תת-קבוצה של הקבוצה הנחשבת יש את האלמנט הקטן ביותר ביחס ליחס הסדר הנחשב . אם הקבוצה מסודרת באופן ליניארי, ובנוסף, בכל אחת מתת-הקבוצות שלה, ניתן להבחין בין האלמנט הקטן ביותר, אז הוא נקרא די מסודר.

שקול כמה דוגמאות של סטים מסודרים היטב.

0°. הסט הריק J.

1°. הגדר (Ж).

2°. הסט (Ж , (Ж )).

שים לב שקבוצות אלה מסודרות ביחס ליחס החברות (О ). קל לנחש כיצד נראית קבוצה מסודרת היטב של שלושה אלמנטים עבור יחס סדר כזה:

3°. (Ж , (Ж ), (Ж ,(Ж ))).

..............................................

נ°. (Ж , (Ж ), (Ж ,(Ж )), ...,( נ- 2) ° , ( נ- 1) ° ) - נהסט מתקבל על ידי האיחוד של הקודם נ- 1 סטים.

הַגדָרָה.הקבוצות הבנויות בצורה זו נקראות מספרים טבעיים.

כל הקבוצות הללו מרכיבות את קבוצת המספרים הטבעיים נ. שקול מדוע אקסיומה של אינסוף נחוצה לקיומו של קבוצה זו (ראה אקסיומה של אינסוף). הגדר אלמנט Mשקוראים לו הכי פחותאם הוא קטן מכל אלמנט אחר M. אתה יכול גם להגדיר מִינִימוּםאֵלֵמֶנט M: זה אלמנט כזה, פחות ממנו בסט Mלא. חשוב שבמקרה מתי Mאינו מסודר ליניארי, המושגים מינימום ומינימום אלמנטים שונים. בפרט, תמיד יש לכל היותר אלמנט אחד לפחות, אבל זה לא המקרה עבור מינימליים. על איור. 4 כל אחד מהאלמנטים א 15 ו א 51 מינימום.

סט שהוזמן חלקית- מושג מתמטי הממציא את הרעיונות האינטואיטיביים של סדר, סידור אלמנטים ברצף מסוים. באופן לא רשמי, קבוצה מסודרת באופן חלקי אם מצוין אילו אלמנטים לעקוב אחרעבור אילו (אילו אלמנטים יותראיזה מהם). במקרה הכללי, עשוי להתברר שכמה זוגות של אלמנטים אינם קשורים בקשר " עוקב».

כדוגמה מופשטת, אנו יכולים לתת אוסף של תת-קבוצות של קבוצה של שלושה אלמנטים (הבוליאנית של קבוצה נתונה), מסודרים לפי יחס ההכללה.

הגדרה ודוגמאות

להזמין, או סדר חלקי, על קבוצה הוא יחס בינארי על (מוגדר על ידי קבוצה כלשהי ) המקיים את התנאים הבאים:

הסט שעליו ניתן יחס הסדר החלקי נקרא הוזמן חלקית(אנגלית) סט מסודר חלקית, מיקום). ליתר דיוק, אז קבוצה מסודרת חלקית היא זוג, איפה היא קבוצה, והיא יחס סדר חלקי ב.

טרמינולוגיה וסימון

יחס הסדר החלקי מסומן בדרך כלל על ידי הסמל, באנלוגיה ליחס "פחות או שווה ל" בקבוצת המספרים הממשיים. במקרה זה, אם , אז אנו אומרים שהאלמנט אינו עולה על, או מה כָּפוּף .

אם ו , אז כתוב , ותגיד את זה פָּחוּת, או מה כפוף למהדרין .

לפעמים, על מנת להבחין בסדר שרירותי על קבוצה מסוימת מהיחס הידוע "פחות או שווה" על קבוצת המספרים הממשיים, הסמלים המיוחדים ו משמשים במקום ו, בהתאמה.

סדר קפדני ולא קפדני

יחס המקיים את התנאים של רפלקסיביות, טרנזיטיביות ואנטי-סימטריה נקרא גם רָפֶה, או סדר רפלקסיבי. אם תנאי הרפלקסיביות מוחלף בתנאי אנטי רפלקסיביות(ואז המאפיין של אנטי-סימטריה יוחלף באסימטריה):

ואז נקבל את ההגדרה קַפְּדָנִי, או סדר אנטי-רפלקסיבי.

אם הוא סדר לא קפדני בקבוצה , אז היחס , המוגדר כ:

הוא צו קפדני על . לעומת זאת, אם הוא צו קפדני, אז היחס המוגדר כ

הוא צו לא קפדני.

לכן, הכל אותו דבר - לקבוע סדר לא קפדני על הסט, או צו קפדני. התוצאה היא אותו מבנה. ההבדל הוא רק בטרמינולוגיה ובסימונים.

דוגמאות

הבה נציג את יחס הסדר כדלקמן: , אם אי השוויון מתקיים עבור כולם. ברור שהיחס שהוצג הוא אכן יחס סדר חלקי.

הגדרות קשורות

אלמנטים שאין דומה להם

אם והם מספרים ממשיים, אז רק אחד מהיחסים הבאים מתקיים:

אם והם אלמנטים של קבוצה שרירותית מסודרת חלקית, אז קיימת אפשרות הגיונית רביעית: אף אחד משלושת היחסים המצוינים אינו מרוצה. במקרה זה, האלמנטים נקראים שאין להשוות. לדוגמה, אם היא קבוצת הפונקציות בעלות ערך אמיתי בקטע , אז האלמנטים ו יהיו בלתי ניתנים להשוואה. האפשרות לקיומם של יסודות שאין דומה להם מסבירה את משמעות המונח "סט מסודר חלקית".

מינימום/מקסימום והמינימום/גדולים ביותר

האלמנט נקרא מִינִימָלִי(אנגלית) אלמנט מינימלי) אם האלמנט אינו קיים. במילים אחרות, הוא האלמנט המינימלי אם עבור אלמנט כלשהו או , או , או ואינם ניתנים להשוואה. האלמנט נקרא הכי פחות(אנגלית) אלמנט קטן, גבול תחתון (גב. עליון) ) אם אי השוויון מתקיים עבור אלמנט כלשהו. ברור שכל אלמנט הקטן ביותר הוא גם מינימלי, אבל ההיפך אינו נכון במקרה הכללי: ייתכן שהאלמנט המינימלי לא יהיה הקטן ביותר אם יש אלמנטים שאינם ברי השוואה עם .

ברור שאם יש אלמנט הכי קטן בסט, אז הוא ייחודי. אבל יכולים להיות כמה אלמנטים מינימליים. כדוגמה, שקול את קבוצת המספרים הטבעיים ללא יחידה, מסודרת לפי יחס ההתחלקות. כאן, האלמנטים המינימליים יהיו מספרים ראשוניים, אך האלמנט הקטן ביותר אינו קיים.

המושגים מַקסִימוּם(אנגלית) אלמנט מקסימלי) ו הגדול ביותר(אנגלית) האלמנט הגדול ביותר) אלמנטים.

פנים עליונים ותחתונים

אפשר להיות תת-קבוצה של קבוצה מסודרת חלקית. האלמנט נקרא פנים עליונות(אנגלית) גבול עליון) אם אלמנט כלשהו אינו חורג . הרעיון פנים תחתונים(אנגלית) חסם תחתון) סטים .

כל אלמנט גדול יותר מחלק עליון יהיה גם פנים עליון. וכל יסוד שפחות מאיזה אינפימום יהיה גם אינפם. שיקולים אלו מובילים להכנסת המושגים לפחות פנים עליון(אנגלית) הגבול העליון לפחות) ו הפנים התחתונות הגדולות ביותר(אנגלית) הגבול התחתון הגדול ביותר).

סט עליון ותחתון

עבור רכיב של סט מסודר חלקית סט עליון(אנגלית) סט עליון, נסער) הוא קבוצת כל האלמנטים שלפניהם ().

סט שלם בהזמנה חלקית(אנגלית) שלם חלקי מסודר, ω-שלם חלק מסודר ) הוא סט מסודר חלקית שיש לו תַחתִיתהוא האלמנט היחיד שקודם לכל אלמנט אחר ולכל תת-קבוצה מכוונת שלו יש גבול עליון מדויק. ערכות שלמות מסודרות חלקית משמשות ב-λ-חשבון ובמדעי המחשב, בפרט, מוצגת עליהן הטופולוגיה של סקוט, שעל בסיסה נבנה מודל עקבי של λ-חשבון וסמנטיקה דנוטציונית של חישובים. מקרה מיוחד של קבוצה שלמה מסודרת חלקית היא סריג שלם - אם לכל תת קבוצה, לא בהכרח מכוונת, יש גבול עליון לפחות, אז מתברר שזה סריג שלם.

קבוצה מסודרת היא קבוצה שלמה מסודרת חלקית אם ורק אם לכל פונקציה מונוטונית ביחס לסדר () יש לפחות אחד

הגדרה ודוגמאות

טרמינולוגיה וסימון

סדר קפדני ולא קפדני

דוגמאות

הגדרות קשורות

אלמנטים שאין דומה להם

מינימום/מקסימום והמינימום/גדולים ביותר

פנים עליונים ותחתונים

סוגים מיוחדים של סטים בהזמנה חלקית

סטים מסודרים באופן ליניארי

סטים מסודרים היטב

משפטים על קבוצות מסודרות חלקית

הערות

סִפְרוּת

ראה גם

ערך שעון סט מסודר היטבבמילונים אחרים

IV Yashchenko פרדוקסים של תורת הקבוצות

8. סטים מסודרים היטב

הגדרה ודוגמאות

טרמינולוגיה וסימון

סדר קפדני ולא קפדני

דוגמאות

הגדרות קשורות

אלמנטים שאין דומה להם

מינימום/מקסימום והמינימום/גדולים ביותר

פנים עליונים ותחתונים

סט עליון ותחתון

תוכן קשור: