Die Zeile genannt abwechselnd wenn seine Mitglieder sowohl positive als auch negative Mitglieder umfassen.

Lassen Sie uns eine Reihe von Modulen von Mitgliedern dieser Reihe zusammenstellen:

Es stellte sich heraus, dass es sich um eine positive Zahl handelte.

Ausreichendes Kriterium für Konvergenz abwechselnd Reihe: Konvergiert eine Reihe, die aus den Modulen der Terme einer gegebenen alternierenden Reihe gebildet wird, so konvergiert auch diese Reihe.

In diesem Fall wird die alternierende Reihe aufgerufen absolut konvergent.

Wenn eine alternierende Reihe konvergiert und eine aus den Moduln ihrer Glieder zusammengesetzte Reihe divergiert, so heißt die alternierende Reihe bedingt konvergent.

Beispiel.Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz.

Lösung. Diese Reihe ist vorzeichenwechselnd, weil Sünde n kann entweder positiv oder negativ mit unterschiedlich sein n.

Lassen Sie uns eine Reihe von Modulen seiner Mitglieder zusammenstellen:

Diese Reihe ist positiv, kann also mit dem Vergleichstest untersucht werden. Da ≤ , und die Reihe nach dem d'Alembert-Test konvergiert (siehe S. 4.2.3.3. ). Das bedeutet, dass auch die Reihe mit kleineren Gliedern konvergiert und die gegebene Reihe absolut konvergiert.

Jeder ist daran gewöhnt zu denken, dass die Summe nicht von der Reihenfolge der Terme abhängt. Und dies gilt, wenn es um eine endliche Anzahl von Begriffen geht. Bei unendlichen Summen, d.h. Zeilen, Sie müssen vorsichtig sein. Es stellt sich heraus, die Summe der Reihe kann sich ändern bei Änderung der Reihenfolge seiner Mitglieder, wenn die Reihe bedingt konvergiert. Zeigen wir dies am Beispiel einer alternierenden harmonischen Reihe.

Beispiel. Die Summe einer solchen Reihe ist bekannt:

In dieser Serie ordnen wir die Begriffe neu und nutzen die Tatsache, dass es unendlich viele davon gibt:

Es stellte sich heraus, dass die Zahl gleich ihrer Hälfte ist, d.h. absurd. Dies geschah, weil die ursprüngliche Reihe bedingt konvergent war (tatsächlich ist eine Reihe, die aus den Modulen ihrer Mitglieder zusammengesetzt ist, harmonisch und divergiert), und für eine solche Reihe kann die Summe von der Reihenfolge der Terme abhängen. Und natürlich wäre eine solche Permutation für eine endliche Summe unmöglich, weil wir einen positiven Term und zwei negative Terme in Klammern nehmen würden und dann die negativen Terme schneller enden würden.

Übrigens, mit einer anderen Permutation könnte man ein anderes Ergebnis erhalten. Wenn Sie beispielsweise zwei positive Terme in Klammern setzen und einen weiteren negativen, dann lautet die Summe wie folgt:

Für bedingt konvergente Reihen gilt Satz von Riemann: Durch geeignetes Umordnen der Terme einer Reihe, die nicht absolut konvergent ist, kann man eine Reihe mit einer vorbestimmten Summe oder sogar eine divergente Reihe erhalten.

4.3.1. Abwechselnde Reihen

Betrachten Sie die Serie

Wo alle > 0. Eine solche Reihe heißt abwechselnd, und es ist ein Sonderfall einer alternierenden Reihe.

Ausreichendes Zeichen Konvergenz der alternierenden Reihe ( Zeichen von Leibniz): Wenn die Terme einer alternierenden Reihe im Absolutwert monoton abnehmen und der gemeinsame Term der Reihe gegen Null tendiert, dann konvergiert die Reihe und ihre Summe überschreitet nicht den ersten Term der Reihe.

Folge. Der Rest der Reihe hat einen geringeren absoluten Wert als der absolute Wert des ersten Terms des Rests. Diese Eigenschaft wird bei ungefähren Berechnungen von Funktionen, Integralen usw. verwendet.

Nachweisen. Schreiben wir zum Beispiel die Partialsumme der Reihe, bestehend aus einer geraden Anzahl von Termen:

Da durch die Bedingung die Terme der Reihe kleiner werden, sind hier alle Klammern positiv. Und es stellt sich heraus, dass einerseits mit dem Wachstum zunimmt k, und überschreitet andererseits nicht den ersten Term a eines . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat es einen Grenzwert.

Wenn man die Konvergenz einer alternierenden Reihe untersucht, sollte man zuerst den Leibniz-Test verwenden und dann prüfen, ob die Reihe, die aus den Moduln der Mitglieder dieser Reihe besteht, konvergiert. Schließen Sie danach, ob die Reihe absolut oder bedingt konvergiert.

Beispiel. Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe.

Lösung. Diese Serie ist alternierend. Die Mitglieder einer Reihe haben folgende Eigenschaften:

1) die Beträge der Mitglieder der Reihe nehmen monoton ab: > > > … ; divergiert auch.

Es stellte sich heraus, dass die ursprüngliche Serie konvergiert und die Modulserie auseinandergeht. Daher ist die ursprüngliche Reihe bedingt konvergent.

abwechselnde Serie

Bestimmung 5. Numerische Reihen, die sowohl positive als auch negative Terme enthalten, werden Wechselreihen genannt.

Reihen, deren Mitglieder alle negative Zahlen sind, sind im Vergleich zu Reihen mit positivem Vorzeichen nicht neu, da sie durch Multiplikation von Reihen mit positivem Vorzeichen erhalten werden – 1.

Beginnen wir das Studium der alternierenden Reihen mit einem Sonderfall - alternierenden Reihen.

Bestimmung 6. Nummernreihe des Formulars u 1 -u 2 +u 3 -u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n +…, wo u n- Der Modul eines Reihengliedes wird als alternierende Zahlenreihe bezeichnet.

Satz 9. (Leibniz-Test )

Wenn für eine alternierende Zahlenreihe

Zwei Bedingungen sind erfüllt:

Die Terme der Reihe nehmen modulo ab du 1>du 2>…>u n>…,

dann konvergiert die Reihe (19), und ihre Summe ist positiv und überschreitet nicht den ersten Term der Reihe.

Nachweisen. Betrachten Sie die Teilsumme einer geraden Anzahl von Gliedern in der Reihe S2n=(u 1 -u 2)+(u 3 -u 4)+…+(u 2 n -1 -u 2 n).

Nach Zustand du 1>du 2>…>u2n-1>u 2 n, das heißt, alle Differenzen in Klammern sind positiv, also S2n steigt mit zunehmendem n und S2n>0 für alle n.

Andererseits S2n=u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n]. Der Ausdruck in eckigen Klammern ist positiv und S2n>0, also S2n<du 1 für jeden n. Also die Folge der Partialsummen S2n wächst und ist begrenzt, daher gibt es ein Endliches S2n=S. Gleichzeitig 0<S≤du 1.

Betrachten Sie nun die Partialsumme einer ungeraden Anzahl von Gliedern in der Reihe S2n+1=S2n+u 2 n +1. Lassen Sie uns die letzte Gleichheit bis zur Grenze bei übergehen n→∞: S. 2 n +1 \u003d S. 2 n + u 2 n +1 \u003d S. + 0=S. Somit haben die Partialsummen sowohl einer geraden als auch einer ungeraden Anzahl von Gliedern der Reihe denselben Grenzwert S, deshalb Sn=S, das heißt, die Reihe konvergiert. Der Satz ist bewiesen.

Beispiel.

Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Wir wenden den Leibniz-Test an.

u n= >u n +1=

Beide Bedingungen des Leibniz-Tests sind erfüllt, daher konvergiert die Reihe.

Bemerkungen.

1. Der Satz von Leibniz gilt auch, wenn die Bedingung u n > u n + 1 wird ab einer Zahl ausgeführt N.

2. Bedingung u n > u n +1 ist nicht nötig. Die Reihe kann konvergieren, wenn dies nicht gilt. Zum Beispiel eine Reihe
konvergiert als Differenz zweier konvergenter Reihen, obwohl die Bedingung u n > u n +1 wird nicht durchgeführt.

Bestimmung 8. Wenn eine alternierende Reihe konvergiert und eine Reihe, die sich aus den absoluten Werten der Mitglieder dieser Reihe zusammensetzt, divergiert, dann sagt man, dass die alternierende Reihe bedingt konvergiert.

Bestimmung 9. Wenn sowohl die Wechselreihe selbst als auch die Reihe, die sich aus den absoluten Werten ihrer Mitglieder zusammensetzt, konvergieren, dann sagt man, dass die Wechselreihe absolut konvergiert.

Beispiel.

Stellen Sie die Art der Konvergenz der Reihe fest

Offensichtlich konvergiert diese Reihe nach dem Leibniz-Test. Tatsächlich: und u n=

Eine Reihe, die sich aus den absoluten Werten der Mitglieder dieser Reihe zusammensetzt, ist eine divergente harmonische Reihe. Daher konvergiert diese Reihe bedingt.

Eine Zahlenreihe, die unendlich viele positive und unendlich viele negative Terme enthält, heißt alternierend.

Absolute und bedingte Konvergenz

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe auch konvergiert.

Wenn eine Reihe absolut konvergiert, dann ist sie konvergent (im üblichen Sinne). Die Umkehrung ist nicht wahr.

Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie selbst konvergiert und die aus den Moduln ihrer Glieder zusammengesetzte Reihe divergiert.

Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen .

Wenden wir den Leibniz-Suffizienztest für alternierende Reihen an. Wir bekommen

weil die . Daher konvergiert diese Reihe.

38. Abwechselnde Reihen. Leibniz-Zeichen.

Ein Sonderfall einer alternierenden Reihe ist eine alternierende Reihe, also eine Reihe, in der aufeinanderfolgende Terme entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Leibniz-Zeichen

Für diejenigen, die sich in der Nähe abwechseln, gilt der Leibniz-Test für hinreichende Konvergenz.

Sei (an) eine Zahlenfolge, so dass

1. an+1< an для всех n;

Dann sind abwechselnde Serien abgehend.

39. Funktionsreihen. Power-Reihe. Konvergenzradius. Konvergenzintervall.

Das Konzept der Funktionsreihen und Potenzreihen

Denken Sie daran, dass die übliche Zahlenreihe aus Zahlen besteht:

Alle Mitglieder der Serie sind NUMBERS.

Die Funktionsreihe besteht aus FUNKTIONEN:

Neben Polynomen, Fakultäten und anderen Gaben gehört sicherlich auch der Buchstabe „x“ zum gemeinsamen Begriff der Reihe. Das sieht zum Beispiel so aus:

Wie eine Zahlenreihe kann jede Funktionsreihe in erweiterter Form geschrieben werden:

Wie Sie sehen, sind alle Mitglieder der Funktionsreihe Funktionen.

Die beliebteste Art von Funktionsreihen ist Power-Reihe.

Definition:

Eine Potenzreihe ist eine Reihe, deren gemeinsamer Begriff positive ganzzahlige Potenzen der unabhängigen Variablen enthält.

Eine vereinfachte Potenzreihe in vielen Lehrbüchern wird wie folgt geschrieben: , wo ist das altbekannte „Stuffing“ von Zahlenreihen (Polynome, Grade, Fakultäten, die nur von „en“ abhängen). Das einfachste Beispiel:

Schauen wir uns diese Zerlegung an und überdenken die Definition: Die Mitglieder der Potenzreihe enthalten „x“ in positiven ganzzahligen (natürlichen) Potenzen.

Sehr oft findet sich eine Potenzreihe in folgenden „Modifikationen“: oder wobei a eine Konstante ist. Zum Beispiel:

Genau genommen sind die vereinfachten Darstellungen der Potenzreihen noch nicht ganz korrekt. Im Exponenten kann anstelle des einzelnen Buchstabens „en“ ein komplexerer Ausdruck stehen, zum Beispiel:

Oder diese Potenzreihe:

Wenn nur die Exponenten bei "xAx" natürlich wären.

Potenzreihenkonvergenz.

Konvergenzintervall, Konvergenzradius und Konvergenzgebiet

Vor einer solchen Fülle an Begriffen braucht man keine Angst zu haben, sie gehen „nebeneinander“ und sind nicht besonders schwer zu verstehen. Es ist besser, einige einfache Versuchsreihen auszuwählen und sofort zu verstehen.

Ich bitte Sie, die Potenzreihen zu lieben und zu bevorzugen. Die Variable kann jeden realen Wert von "minus unendlich" bis "plus unendlich" annehmen. Ersetzen Sie mehrere beliebige x-Werte in den gemeinsamen Term der Reihe:

Wenn x=1 dann

Wenn x=-1, dann

Wenn x=3 dann

Wenn x = –0,2, dann

Es ist offensichtlich, dass wir durch Ersetzen von "x" in den einen oder anderen Wert verschiedene Zahlenreihen erhalten. Einige Zahlenreihen konvergieren, andere divergieren. Und unsere Aufgabe ist es, den Satz von Werten von "x" zu finden, bei dem die Potenzreihen konvergieren. Eine solche Menge heißt Konvergenzbereich der Reihe.

Für jede Potenzreihe (vorübergehend von einem bestimmten Beispiel abweichend) sind drei Fälle möglich:

1) Die Potenzreihe konvergiert absolut in einem Intervall . Mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Wert von „x“ aus dem Intervall wählen und ihn in den gemeinsamen Term der Potenzreihe einsetzen, dann erhalten wir eine absolut konvergente Zahlenreihe. Ein solches Intervall heißt Konvergenzintervall der Potenzreihe.

Der Konvergenzradius ist ganz einfach halb so lang wie das Konvergenzintervall:

Geometrisch sieht die Situation so aus:

In diesem Fall ist das Konvergenzintervall der Reihe: der Konvergenzradius der Reihe:

Definition 6.1 Eine Zahlenreihe, die eine unendliche Menge positiver und eine unendliche Menge negativer Terme enthält, heißt alternierend. Ein Sonderfall einer alternierenden Reihe ist eine alternierende Reihe, also eine Reihe, in der aufeinanderfolgende Terme entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Leibniz-Zeichen

Für diejenigen, die sich in der Nähe abwechseln, gilt der Leibniz-Test für hinreichende Konvergenz.

Sei (an) eine Zahlenfolge, so dass

1. an+1< an ;

Dann konvergieren die alternierenden Reihen und.

Absolute und bedingte Konvergenz

Definition 6.2 Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe auch konvergiert. Wenn eine Reihe absolut konvergiert, dann ist sie konvergent (im üblichen Sinne). Die Umkehrung ist nicht wahr.

Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie selbst konvergiert und die aus den Moduln ihrer Glieder zusammengesetzte Reihe divergiert.

Wenden wir den Leibniz-Suffizienztest für alternierende Reihen an. Wir bekommen

weil die. Daher konvergiert diese Reihe.

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz.

Versuchen wir, das Leibniz-Zeichen anzuwenden:

Es ist ersichtlich, dass der Modul des allgemeinen Terms für n > &agr; nicht gegen Null geht. Diese Reihe divergiert also

Wenden wir das d'Alembert-Kriterium auf eine Reihe an, die sich aus den Modulen der entsprechenden Terme zusammensetzt, finden wir

Daher konvergiert diese Reihe absolut.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Zuerst verwenden wir das Leibniz-Zeichen und finden den Grenzwert. Berechnen wir diese Grenze nach der Regel von L'Hopital:

Somit divergiert die ursprüngliche Reihe.

Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Der gemeinsame Begriff dieser Reihe ist gleich. Wenden wir den d'Alembert-Test auf eine Reihe von Modulen an:

Folglich. die ursprüngliche Reihe konvergiert absolut.

Untersuchen Sie, ob die Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Unter Anwendung des Leibniz-Tests sehen wir, dass die Reihe konvergent ist:

Betrachten wir nun die Konvergenz einer Reihe, die sich aus den Moduln der entsprechenden Terme zusammensetzt. Unter Verwendung des integralen Konvergenzkriteriums erhalten wir

Daher konvergiert die ursprüngliche Reihe bedingt.

Bestimmen Sie, ob die Reihe absolut konvergent, bedingt konvergent oder divergent ist?

Zuerst wenden wir den Leibniz-Test an:

Daher konvergiert diese Reihe. Lassen Sie uns herausfinden, ob diese Konvergenz absolut oder bedingt ist. Nutzen wir den Grenztest des Vergleichs und vergleichen die entsprechende Modulreihe mit der abweichenden harmonischen Reihe:

Da die aus Modulen zusammengesetzte Reihe divergiert, ist die ursprüngliche alternierende Reihe bedingt konvergent.

1. Reihe mit positiven Begriffen. Zeichen der Konvergenz

Es ist sehr schwierig, die Konvergenz der Reihe (1.1) zu bestimmen und ihre Summe im Konvergenzfall direkt durch Definition 1.1 als Grenzwert einer Folge von Partialsummen zu finden. Daher gibt es genügend Zeichen, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Im Falle seiner Konvergenz kann der ungefähre Wert seiner Summe mit beliebiger Genauigkeit die Summe der entsprechenden Anzahl der ersten n Glieder der Reihe sein.

Hier betrachten wir Reihen (1.1) mit positiven (nichtnegativen) Gliedern, d. h. Reihen, für die solche Reihen als positive Reihen bezeichnet werden.

Satz 3.1. (Vergleichszeichen)

Es seien zwei positive Zeilen vorhanden

und die Bedingungen erfüllt sind für alle n=1,2,…

Dann gilt: 1) die Konvergenz der Reihe (3.2) impliziert die Konvergenz der Reihe (3.1);

2) die Divergenz der Reihe (3.1) impliziert die Divergenz der Reihe (3.2).

Nachweisen. 1. Die Reihe (3.2) konvergiere und ihre Summe sei gleich B. Die Folge der Teilsummen der Reihe (3.1) sei nicht fallend und nach oben durch die Zahl B begrenzt, d. h.

Dann folgt aus den Eigenschaften solcher Folgen, dass sie einen endlichen Limes hat, d.h. die Reihe (3.1) konvergiert.

2. Reihe (3.1) divergiere. Wenn dann die Reihe (3.2) konvergiert, dann würde aufgrund des oben bewiesenen Punktes 1 auch die ursprüngliche Reihe konvergieren, was unserer Bedingung widerspricht. Also divergiert auch Reihe (3.2).

Dieses Merkmal wird bequem auf die Bestimmung der Konvergenz von Reihen angewendet, indem man sie mit Reihen vergleicht, deren Konvergenz bereits bekannt ist.

Beispiel 3.1. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Die Terme der Reihe sind positiv und kleiner als die entsprechenden Terme der konvergenten Reihe einer geometrischen Folge

denn, n=1,2,…

Daher konvergiert im Vergleich auch die ursprüngliche Reihe.

Beispiel 3.2. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Die Terme dieser Reihe sind positiv und größer als die entsprechenden Terme der divergenten harmonischen Reihe

Daher weicht die ursprüngliche Reihe nach dem Vergleichskriterium ab.

Satz 3.2. (Das Grenzzeichen von d'Alembert).

Dann: 1) für q< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) für q > 1 divergiert Reihe (1.1);

Anmerkung: Reihe (1.1) wird auch divergieren, wenn

Beispiel 3.3. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Wenden wir den d'Alembert-Grenztest an.

In unserem Fall.

Beispiel 3.4. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Daher konvergiert die ursprüngliche Reihe.

Beispiel 3.5. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Wenden wir den d'Alembert-Grenztest an:

Daher weicht die ursprüngliche Reihe ab.

Kommentar. Die Anwendung des d'Alembert-Grenztests auf eine harmonische Reihe gibt keine Antwort auf die Konvergenz dieser Reihe, weil für diese Reihe

Satz 3.3. (Die Cauchy-Grenze Cauchy Augustin Louis (1789 - 1857), französischer Mathematiker.).

Die Terme der positiven Reihe (1.1) seien so, dass ein Grenzwert existiert

Dann: 1) für q< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) für q > 1 divergiert Reihe (1.1);
• 3) für q = 1 kann nichts über die Konvergenz der Reihe (1.1) gesagt werden, zusätzliche Untersuchungen sind erforderlich.

Beispiel 3.6. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Wir wenden den Cauchy-Grenztest an:

Daher konvergiert die ursprüngliche Reihe.

Satz 3.4. (Integraler Cauchy-Test).

Die Funktion f(x) sei eine stetige, nicht negative, nicht ansteigende Funktion auf dem Intervall

Dann konvergieren oder divergieren die Reihe und das uneigentliche Integral gleichzeitig.

Beispiel 3.7. Untersuchen Sie die harmonische Reihe auf Konvergenz

Wir wenden den Cauchy-Integraltest an.

In unserem Fall erfüllt die Funktion die Bedingung von Satz 3.4. Wir untersuchen die Konvergenz des uneigentlichen Integrals

Das uneigentliche Integral divergiert, daher divergiert auch die ursprüngliche harmonische Reihe.

Beispiel 3.8. Untersuchen Sie die verallgemeinerte harmonische Reihe auf Konvergenz

Die Funktion erfüllt die Bedingung von Theorem 3.4.

Wir untersuchen die Konvergenz des uneigentlichen Integrals

Betrachten Sie die folgenden Fälle:

• 1) let Dann ist die verallgemeinerte harmonische Reihe eine harmonische Reihe, die divergiert, wie in Beispiel 3.7 gezeigt.
• 2) lass dann

Das uneigentliche Integral divergiert, und daher divergiert die Reihe;

3) lass dann

Das uneigentliche Integral konvergiert, und daher konvergiert die Reihe.

Endlich haben wir

Bemerkungen. 1. Die verallgemeinerte harmonische Reihe wird bei divergieren, da in diesem Fall das notwendige Konvergenzkriterium nicht erfüllt ist: der gemeinsame Term der Reihe geht nicht gegen Null.

2. Die verallgemeinerte harmonische Reihe ist bequem zu verwenden, wenn das Vergleichskriterium angewendet wird.

Beispiel 3.9. Untersuchen Sie nach Konvergenzreihen

Die Terme der Reihe sind positiv und kleiner als die entsprechenden Terme der konvergenten verallgemeinerten harmonischen Reihe

weil und Parameter

Daher konvergiert die ursprüngliche Reihe (auf der Grundlage des Vergleichs).

Wenden wir uns der Betrachtung von Reihen zu, deren Terme sowohl positiv als auch negativ sein können.

Diese Sektion verdankt ihr außergewöhnliches Aussehen vielen, vielen Autoren, bei deren Lektüre man diese Werke gerne in die Schriftsteller selbst einführen möchte. Eigentlich hatte ich vor, dieses Thema erst vollständig darzustellen, da es endlich fertig war, aber aufgrund zu vieler Fragen dazu werde ich jetzt einige Punkte nennen. Anschließend wird das Material ergänzt und erweitert. Beginnen wir mit Definitionen.

Eine Reihe der Form $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, wobei $u_n>0$, heißt alternierend.

Die Zeichen der Mitglieder der alternierenden Reihe wechseln sich strikt ab:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

Zum Beispiel ist $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$ eine alternierende Reihe. Es kommt vor, dass der strenge Zeichenwechsel nicht mit dem ersten Element beginnt, aber dies ist für das Studium der Konvergenz nicht wesentlich.

Warum ist der Zeichenwechsel nicht ab dem ersten Element unwichtig? Anzeigen Ausblenden

Tatsache ist, dass es unter den Eigenschaften numerischer Reihen eine Aussage gibt, die es uns ermöglicht, die "zusätzlichen" Mitglieder der Reihe zu verwerfen. Hier ist die Eigenschaft:

Die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ konvergiert genau dann, wenn einer ihrer Reste $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k gegen $ konvergiert . Daraus folgt, dass das Entfernen oder Hinzufügen einer endlichen Anzahl von Termen zu einer bestimmten Reihe die Konvergenz der Reihe nicht ändert.

Gegeben sei eine alternierende Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, und diese Reihe erfülle die erste Bedingung des Leibniz-Tests, d.h. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. Aber die zweite Bedingung, d.h. $u_n≥u_(n+1)$ wird ab einer Zahl $n_0\in(N)$ ausgeführt. Wenn $n_0=1$, dann erhalten wir die übliche Formulierung der zweiten Bedingung des Leibniz-Tests, also die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1) u_n$ wird konvergieren. Wenn $n_0>1$, dann teilen wir die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ in zwei Teile. Wählen Sie im ersten Teil alle Elemente aus, deren Anzahl kleiner als $n_0$ ist:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

Die Reihe $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ erfüllt beide Bedingungen des Leibniz-Tests, also die Reihe $\sum\limits_(n=n_0) ^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$ konvergiert. Da der Rest konvergiert, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$.

Es spielt also keine Rolle, ob die zweite Bedingung des Leibniz-Zeichens erfüllt ist, beginnend mit dem ersten oder mit dem tausendsten Element – ​​die Reihe wird immer noch konvergieren.

Ich bemerke, dass der Leibniz-Test eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für die Konvergenz alternierender Reihen ist. Mit anderen Worten, die Erfüllung der Bedingungen des Leibniz-Tests garantiert die Konvergenz der Reihe, aber die Nichterfüllung dieser Bedingungen garantiert weder Konvergenz noch Divergenz. Natürlich ist die Nichterfüllung der ersten Bedingung, d.h. $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$ bedeutet, dass die Reihe $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n divergiert $ jedoch kann das Versagen der zweiten Bedingung sowohl für konvergente als auch für divergente Reihen auftreten.

Da in Standard-Typisch-Rechnungen häufig Wechselreihen zu finden sind, habe ich ein Schema zusammengestellt, mit dem Sie die Standard-Wechselreihen auf Konvergenz untersuchen können.

Natürlich kann man das Leibniz-Kriterium direkt anwenden, indem man die Überprüfung der Konvergenz einer Reihe von Modulen umgeht. Für Standardtrainingsbeispiele ist jedoch die Überprüfung einer Reihe von Modulen erforderlich, da die meisten Autoren typischer Berechnungen nicht nur herausfinden möchten, ob die Reihe konvergiert oder nicht, sondern auch die Art der Konvergenz (bedingt oder absolut) bestimmen müssen. Kommen wir zu den Beispielen.

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ auf Konvergenz.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob die gegebene Reihe wirklich vorzeichenwechselnd ist. Da $n≥1$, dann $4n-1≥3>0$ und $n^2+3n≥4>0$, d.h. für alle $n\in(N)$ gilt $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$. Die gegebene Reihe hat also die Form $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$, wobei $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, d.h. die betrachtete Reihe ist alternierend.

Normalerweise wird eine solche Überprüfung mündlich durchgeführt, aber es ist höchst unerwünscht, sie zu überspringen: Fehler bei typischen Berechnungen sind keine Seltenheit. Es kommt oft vor, dass die Zeichen der Mitglieder einer bestimmten Serie beginnen, sich nicht vom ersten Mitglied der Serie abzuwechseln. In diesem Fall kann man die "störenden" Terme der Reihe verwerfen und die Konvergenz des Rests untersuchen (siehe Anmerkung am Anfang dieser Seite).

Wir erhalten also eine alternierende Reihe. Wir werden dem oben Gesagten folgen. Zunächst werden wir eine Reihe von Modulen aus Mitgliedern dieser Reihe zusammenstellen:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

Lassen Sie uns prüfen, ob die kompilierte Reihe von Modulen konvergiert. Wenden wir das Vergleichskriterium an. Da für alle $n\in(N)$ $4n-1=3n+n-1≥3n$ und $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$ gilt, gilt:

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

Die harmonische Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ divergiert, also wird die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left divergieren auch divergieren (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$. Daher divergiert laut Vergleichstest die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$. Bezeichne $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$ und überprüfe, ob die Bedingungen des Leibniz-Tests für die ursprüngliche Wechselreihe erfüllt sind. Finde $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n))=0. $$

Die erste Bedingung des Leibniz-Tests ist erfüllt. Nun müssen wir herausfinden, ob die Ungleichung $u_n≥u_(n+1)$ erfüllt ist. Eine beträchtliche Anzahl von Autoren zieht es vor, die ersten Terme der Reihe aufzuschreiben und dann zu dem Schluss zu kommen, dass die Ungleichung $u_n≥u_(n+1)$ erfüllt ist.

Anders ausgedrückt würde dieser „Beweis“ für die gegebene Reihe so aussehen: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. Nach dem Vergleich der ersten Terme wird der Schluss gezogen: Für die restlichen Terme bleibt die Ungleichung bestehen, jeder nachfolgende wird nicht mehr als der vorherige sein. Ich weiß nicht, woher diese "Beweismethode" kommt, aber sie ist falsch. Für die Folge $v_n=\frac(10^n)(n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

Wie beweist man die Ungleichung $u_n≥u_(n+1)$? Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Am einfachsten ist es in unserem Fall, die Differenz $u_n-u_(n+1)$ zu betrachten und ihr Vorzeichen herauszufinden. Betrachten Sie im folgenden Beispiel einen anderen Weg: indem Sie den Zerfall der entsprechenden Funktion beweisen.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3))(\left(n^2+3n\right)\cdot\left( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

Da $n≥1$, dann ist $4n^2-4≥0$, womit wir $4n^2+2n-4>0$ haben, d.h. $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. Es kommt natürlich vor, dass die Ungleichung $u_n≥u_(n+1)$ nicht ab dem ersten Glied der Reihe gilt, aber das ist nicht zwingend (siehe am Anfang der Seite).

Damit sind beide Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Da die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| $ divergiert , dann konvergiert die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ bedingt.

Antworten: Die Reihe konvergiert bedingt.

Beispiel #2

Untersuchen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ auf Konvergenz.

Betrachten Sie zunächst den Ausdruck $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$. Es lohnt sich, einen kleinen Check der Korrektheit des Zustandes zu machen. Tatsache ist, dass unter den Bedingungen typischer Standardberechnungen sehr oft Fehler auftreten können, wenn der Wurzelausdruck negativ ist oder für einige Werte von $ n $ Null im Nenner erscheint.

Um solche Probleme zu vermeiden, werden wir eine einfache Vorstudie durchführen. Da wir für $n≥1$ $2n^3≥2$ haben, dann ist $2n^3-1≥1$, also der Ausdruck unter der Wurzel kann nicht negativ oder gleich Null sein. Daher ist die Bedingung ganz richtig. Der Ausdruck $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ ist für alle $n≥1$ definiert.

Ich füge hinzu, dass für $n≥1$ die Ungleichung $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$ wahr ist, d.h. Wir erhalten eine alternierende Reihe. Wir werden es gemäß dem oben Gesagten untersuchen. Zunächst werden wir eine Reihe von Modulen aus Mitgliedern dieser Reihe zusammenstellen:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

Prüfen wir, ob die aus den Moduln der Mitglieder der gegebenen Reihe zusammengesetzte Reihe konvergiert. Wenden wir das Vergleichskriterium an. Bei der Lösung des vorherigen Beispiels haben wir die erste Vergleichsfunktion verwendet. Hier verwenden wir rein aus Gründen der Abwechslung das zweite Vergleichszeichen (ein Vergleichszeichen in der Grenzform). Vergleichen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ mit der divergenten Reihe $\sum\limits_(n=1). )^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

Da $\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ und $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$, dann gleichzeitig mit der Reihe $\sum\limits_ (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ divergiert und die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) (\sqrt(2n^3-1))$.

Die gegebene alternierende Reihe hat also keine absolute Konvergenz. Bezeichne $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ und überprüfe, ob die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt sind. Finde $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ bis(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

Die erste Bedingung des Leibniz-Tests ist erfüllt. Nun müssen wir herausfinden, ob die Ungleichung $u_n≥u_(n+1)$ erfüllt ist. Im vorigen Beispiel haben wir eine der Möglichkeiten betrachtet, diese Ungleichung zu beweisen: indem wir das Vorzeichen der Differenz $u_n-u_(n+1)$ herausfinden. Gehen wir diesmal anders vor: Anstelle von $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ betrachten wir die Funktion $y(x)=\frac(5x-4) (\sqrt( 2x^3-1))$ vorausgesetzt $x≥1$. Ich stelle fest, dass das Verhalten dieser Funktion unter der Bedingung $x<1$ нам совершенно безразлично.

Unser Ziel ist es zu beweisen, dass die Funktion $y(x)$ nichtsteigend (oder fallend) ist. Wenn wir beweisen, dass die Funktion $y(x)$ nicht steigend ist, dann haben wir für alle Werte von $x_2>x_1$ $y(x_1)≥y(x_2)$. Unter der Annahme $x_1=n$ und $x_2=n+1$ erhalten wir, dass die Ungleichung $n+1>n$ die Wahrheit der Ungleichung $y(n)≥y(n+1)$ impliziert. Da $y(n)=u_n$, ist die Ungleichung $y(n)≥y(n+1)$ dasselbe wie $u_(n)≥u_(n+1)$.

Wenn wir zeigen, dass $y(x)$ eine fallende Funktion ist, dann impliziert die Ungleichung $n+1>n$ die Wahrheit der Ungleichung $y(n)>y(n+1)$, d.h. $u_(n)>u_(n+1)$.

Finde die Ableitung $y"(x)$ und finde ihr Vorzeichen für die entsprechenden Werte von $x$ heraus.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1 )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

Ich denke, es ist offensichtlich, dass für ausreichend große positive Werte von $x≥1$ das Polynom im Nenner kleiner als Null sein wird, d.h. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

Gehen wir das Thema jedoch weniger formell an. Um keine unnötigen Lemmata aus der Algebra einzubeziehen, schätzen wir den Wert des Ausdrucks $-5x^3+12x^2-5$ einfach grob ab. Betrachten wir $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. Für $x≥3$ haben wir $-5x+12<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

Für $x≥3$ haben wir also $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, also die zweite Bedingung des Leibniz-Tests ist erfüllt. Natürlich haben wir die Erfüllung der zweiten Bedingung nicht mit $n=1$, sondern mit $n=3$ gezeigt, aber das ist nicht zwingend (siehe am Anfang der Seite).

Damit sind beide Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Da die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) )\ right|$ divergiert, dann konvergiert die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ bedingt .

Antworten: Die Reihe konvergiert bedingt.

Beispiel #3

Untersuchen Sie die Reihe $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ auf Konvergenz.

Dieses Beispiel ist nicht von großem Interesse, daher werde ich es kurz beschreiben. Wir erhalten eine alternierende Reihe, die wir erneut im Hinblick auf untersuchen werden. Wir stellen eine Reihe von Modulen aus Mitgliedern dieser Reihe zusammen:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

Wenden wir das Vorzeichen von D "Alembert an. Wenn wir $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$ bezeichnen, erhalten wir $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+ 1)) $ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

Seit $\frac(1)(2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

Ich merke an, dass wir zur Lösung des gegebenen Beispiels den Leibniz-Test nicht brauchten. Deshalb ist es zweckmäßig, zuerst die Konvergenz einer Reihe von Moduln zu prüfen und dann gegebenenfalls die Konvergenz der ursprünglichen alternierenden Reihe zu untersuchen.

Antworten: Die Reihe konvergiert absolut.