Ako je neka varijabla X zavisi od skalarnog argumenta t a za svaku fiksnu vrijednost potonje je slučajna varijabla, a zatim varijabla x(t) naziva se slučajna funkcija.

Ako je argument t varijabla x(t) je vrijeme, onda se takva nasumična funkcija naziva slučajnim procesom. Na primjer, ugao nagiba aviona koji se kreće u turbulentnoj atmosferi je slučajan proces.

Ako a X-vektor zatim zavisnost x(t)-vektorski slučajni proces. Na primjer, kretanje centra mase aviona duž putanje karakterizira šestodimenzionalni vektor x(t) = (x, y, z, V x, V y, V z). Ako se pomicanje aparata dogodi pod djelovanjem slučajnih faktora, onda x(t)-vektorski slučajni proces.

U nekim eksperimentima uočavaju se realizacije x i (t), i-1, 2, ... slučajni proces x(t); i- broj implementacije.

Statistički opis slučajnog procesa x(t) izvedeno razmatranjem skupa slučajnih varijabli x 1 = x (t 1),..., x i = x(t i), koji odgovaraju različitim vremenima t, uzeti u razmatranom intervalu njegove promjene. Smatra se da je to proizvoljan slučajan proces x(t) opisano u potpunosti ako je specificirana metoda za konstruisanje niza gustina vjerovatnoće p(x, t); p(x 1 , t; x2, t2);...; p(x 1, t 1; ...; x n, t n) u , gdje .

1D Density p(x, t) omogućava vam da odredite vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable x(t) u intervalu:

Uz pomoć dvodimenzionalne gustine zglobova, određuje se s kojom vjerovatnoćom dvije slučajne varijable x 1 i x 2 padaju u intervale i odgovaraju momentima t1 i t2:

i tako dalje za bilo koga P.

Gustine distribucije uslovne vjerovatnoće također se mogu koristiti za opisivanje slučajnih procesa. Uslovna gustina vjerovatnoće karakterizira distribuciju vjerovatnoće slučajne varijable , čije implementacije su u ovom trenutku prolazile kroz tačku . Slično, uslovna gustina je gustina raspodele verovatnoće slučajne varijable x n = x(t n),čije su realizacije u prethodnim trenucima imale fiksne vrijednosti . Uzimajući u obzir formulu (1.7), vrijede sljedeće relacije između zajedničke bezuslovne i uslovne raspodjele:

Ostvaruju se sljedeća ograničavajuća svojstva bezuslovnih i uslovnih distribucija:

gdje je delta funkcija u tački X 1 .

U drugom ograničavajućem slučaju

Klasifikacija slučajnih procesa se vrši u zavisnosti od svojstava koja imaju njihove zajedničke bezuslovne i uslovne distribucije.

Potpuno nasumičan proces. Proces x(t) naziva se apsolutno slučajnim ako su slučajne varijable i neovisne za proizvoljno male . Uzimajući u obzir (1.10), za takav proces dobivamo da je zajednička n-dimenzionalna raspodjela za bilo koju P. određena je relacijom

tj., apsolutno slučajan proces je u potpunosti opisan njegovom jednodimenzionalnom distribucijom p(x, I), svima poznat t.

Markov proces. Postavite na interval moguće promjene argumenta t slučajni proces x(t) vremenske serije. slučajni proces x(t) naziva se markovskim ako zadovoljava relaciju za bilo koji .

Za Markovljev proces, uslovna gustina verovatnoće slučajne varijable zavisi samo od toga kolika je bila vrednost slučajne varijable i ni na koji način ne zavisi od toga kakve su implementacije ovog procesa bile u prethodnim trenucima. . Gustina naziva se i gustina vjerovatnoće tranzicije Markovljevog procesa x(t). Za Markovljev proces x(t), uzimajući u obzir (1.34) i (1.40), imamo određen prethodnom vrijednošću i prirastom na ovom intervalu, koji ne zavisi od priraštaja na prethodnim intervalima.

Gausov slučajni proces. slučajni proces x(t), koji ima zajedničku n-dimenzionalnu gustinu vjerovatnoće za bilo koji P i bilo koji je Gaussov naziva se Gausov slučajni proces.

Prije nego što damo definiciju slučajnog procesa, podsjetimo se osnovnih pojmova iz teorije slučajnih varijabli. Kao što znate, slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može uzeti jednu ili drugu vrijednost, unaprijed nepoznatu. Postoje diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Glavna karakteristika slučajne varijable je zakon raspodjele, koji se može dati u obliku grafikona ili u analitičkom obliku. Prema integralnom zakonu distribucije, funkcija raspodjele, gdje je vjerovatnoća da je trenutna vrijednost slučajne varijable manja od neke vrijednosti. Kod diferencijalnog zakona raspodjele koristi se gustina vjerovatnoće. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli su tzv. momenti, od kojih je najčešći momenat prvog reda prosječna vrijednost (očekivanje) slučajne varijable, a središnji moment drugog reda varijansa. Ako postoji više slučajnih varijabli (sistem slučajnih varijabli), uvodi se koncept korelacionog momenta.

Generalizacija koncepta slučajne varijable je koncept slučajna funkcija, tj. funkcija koja, kao rezultat iskustva, može poprimiti ovaj ili onaj oblik, unaprijed nepoznat. Ako je argument funkcije vrijeme t, onda je zovu nasumično ili stohastički proces.

Specifična vrsta slučajnog procesa dobijenog kao rezultat iskustva se naziva implementacija slučajni proces i obična je neslučajna (deterministička) funkcija. S druge strane, u fiksnom trenutku u vremenu imamo takozvani presjek slučajnog procesa u obliku slučajne varijable.

Da bi se opisali slučajni procesi, koncepti teorije slučajnih varijabli generalizirani su na prirodan način. Za neki fiksni trenutak u vremenu, slučajni proces se pretvara u slučajnu varijablu za koju se može uvesti funkcija tzv. jednodimenzionalni zakon raspodjele slučajni proces. Jednodimenzionalni zakon raspodjele nije iscrpna karakteristika slučajnog procesa. Na primjer, ne karakterizira korelaciju (vezu) između pojedinačnih dijelova slučajnog procesa. Ako uzmemo dva različita momenta vremena i , možemo uvesti dvodimenzionalni zakon raspodjele i tako dalje. U okviru našeg daljeg razmatranja, ograničićemo se uglavnom na jednodimenzionalne i dvodimenzionalne zakone.

Razmotrimo najjednostavnije karakteristike slučajnog procesa, slične numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Očekivana vrijednost ili postaviti prosjek

i disperzija

Matematičko očekivanje je neka prosječna kriva, oko koje se grupišu pojedinačne implementacije slučajnog procesa, a varijansa karakterizira širenje mogućih implementacija u svakom trenutku vremena. Ponekad se koristi standardna devijacija.

Da bi se okarakterisala unutrašnja struktura slučajnog procesa, uvodi se koncept korelacija (autokorelacija) funkcije

Uz matematičko očekivanje (prosjek po skupu) (3.1) uvodi se još jedna karakteristika slučajnog procesa - znači nasumični proces za odvojenu implementaciju (prosjek tokom vremena)

Za dva slučajna procesa, takođe se može uvesti koncept unakrsne korelacione funkcije po analogiji sa (3.3).

Jedan od posebnih slučajeva slučajnog procesa koji se široko koristi u praksi je stacionarni slučajni proces je slučajan proces, čije vjerovatnoće ne zavise od vremena. Dakle, za stacionarni slučajni proces , , i korelaciona funkcija zavisi od razlike , tj. je funkcija jednog argumenta.

Stacionarni slučajni proces je u određenoj mjeri sličan konvencionalnim ili stabilnim procesima u kontrolnim sistemima.

Stacionarni slučajni procesi imaju zanimljivo svojstvo tzv ergodička hipoteza. Za stacionarni slučajni proces, bilo koja srednja vrednost skupa je jednaka srednjoj vrednosti tokom vremena. Posebno, na primjer, ovo svojstvo često omogućava pojednostavljenje fizičkog i matematičkog modeliranja sistema pod slučajnim utjecajima.

Kao što je poznato, u analizi determinističkih signala široko se koriste njihove spektralne karakteristike zasnovane na Fourierovom redu ili integralu. Sličan koncept se može uvesti za slučajne stacionarne procese. Razlika će biti u tome što će za slučajni proces amplitude harmonijskih komponenti biti slučajne, a spektar statičkog slučajnog procesa će opisivati ​​raspodjelu disperzija na različitim frekvencijama.

Spektralna gustina stacionarnog slučajnog procesa povezan je sa njegovom korelacionom funkcijom Fourierovim transformacijama:

pri čemu će se korelaciona funkcija tumačiti kao original, a - kao slika.

Postoje tabele koje povezuju originale i slike. Na primjer, ako , onda .

Zapazimo vezu između spektralne gustoće i korelacijske funkcije s disperzijom D

Poziva se funkcija čija je vrijednost za svaku vrijednost nezavisne varijable slučajna varijabla slučajna funkcija. Pozivaju se slučajne funkcije za koje je nezavisna varijabla vrijeme slučajni procesi ili stohastički procesi .

Slučajni proces nije definitivna kriva, to je skup definisanih krivulja, gdje je , dobiveno kao rezultat pojedinačnih eksperimenata (slika 1.9). Svaka kriva u ovom skupu se zove implementacija slučajnog procesa . Nemoguće je unaprijed reći koju implementaciju će proces slijediti.

Za bilo koju fiksnu tačku u vremenu, na primjer, implementacija slučajnog procesa je određena vrijednost, dok je vrijednost slučajne funkcije slučajna varijabla tzv. odjeljak slučajni proces u vremenu . Stoga se ne može tvrditi da slučajni proces u datom trenutku ima takvu i takvu determinističku vrijednost, možemo govoriti samo o vjerovatnoći da će u datom trenutku vrijednost slučajnog procesa kao slučajne varijable biti u određenim granicama.

Rice. 1.9. Implementacije slučajnog procesa

Statističke metode ne proučavaju svaku od implementacija koje čine skup, već svojstva cijelog skupa u cjelini usrednjavanjem svojstava implementacija uključenih u njega. Stoga se pri proučavanju kontrolnog objekta njegovo ponašanje ne ocjenjuje u odnosu na bilo koji specifičan utjecaj koji predstavlja datu funkciju vremena, već u odnosu na cijeli skup utjecaja.

Kao što je poznato, statistička svojstva slučajne varijable određena njegovom funkcijom distribucije vjerovatnoće integrala i diferencijal .

Za slučajni proces se također uvode koncept funkcije distribucije i gustoće vjerovatnoće, koje zavise od fiksnog trenutka vremena promatranja i na nekom odabranom nivou, one. su funkcije dvije varijable i.

Uzmite u obzir slučajnu varijablu , tj. presjek slučajnog procesa u vremenu. Univarijantna funkcija distribucije slučajni proces je vjerovatnoća da trenutna vrijednost slučajnog procesa u datom trenutku ne prelazi neki dati nivo (broj) , tj.

Ako funkcija ima parcijalni izvod u odnosu na, tj.

tada se poziva funkcija jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće slučajni proces. Vrijednost

je vjerovatnoća da se nalazi u vremenskom intervalu od do.

U svakom trenutku u vremenu uočljive slučajne varijable (odjeljci slučajnog procesa) će imati svoje, općenito različite, jednodimenzionalne funkcije raspodjele i gustine vjerovatnoće.

Funkcije su najjednostavnije statističke karakteristike slučajnog procesa. One karakterišu slučajni proces izolovano u njegovim pojedinačnim delovima, ne otkrivajući međusobnu povezanost između delova slučajnog procesa, tj. između mogućih vrijednosti slučajnog procesa u različitim vremenskim trenucima.

Poznavanje ovih funkcija još uvijek nije dovoljno za opisivanje slučajnog procesa u općem slučaju. Takođe je potrebno okarakterisati međusobnu povezanost slučajnih varijabli u različitim proizvoljnim vremenskim momentima.

Razmotrimo sada slučajne varijable koje se odnose na dva različita momenta vremena i posmatranje slučajnog procesa.

Vjerovatnoća da će slučajni proces biti najviše i najviše u , one.

pozvao bivarijantna funkcija distribucije . Ako funkcija ima parcijalne izvode poi, tj.

, (1.47)

tada se poziva funkcija 2D gustoća vjerovatnoće .

Vrijednost

jednaka je vjerovatnoći da će dolazak biti u intervalu od do i kada u rasponu od do.

Slično, može se uvesti koncept n-dimenzionalna funkcija raspodjele i n-dimenzionalna gustina vjerovatnoće .

Što je veći red, to su statistička svojstva slučajnog procesa potpunije opisana. Poznavajući funkciju dimenzionalne raspodjele, iz nje se mogu pronaći jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i druge [do d] funkcije distribucije nižeg reda. Međutim, višedimenzionalni zakoni distribucije slučajnih procesa su relativno glomazne karakteristike i izuzetno je teško operirati s njima u praksi. Stoga se prilikom proučavanja slučajnih procesa često ograničava na slučajeve u kojima je, da bi se opisali slučajni proces, dovoljno poznavati samo njegov jednodimenzionalni ili dvodimenzionalni zakon raspodjele.

Primjer slučajnog procesa koji je u potpunosti karakteriziran jednodimenzionalnom gustinom vjerovatnoće, je tzv čisti slučajni proces, ili Bijeli šum . Vrijednosti u ovom procesu, uzete u različitim vremenskim trenucima, potpuno su nezavisne jedna od druge, bez obzira na to koliko su te točke u vremenu odabrane. To znači da kriva bijelog šuma sadrži rafale koji se raspadaju u beskonačno malim vremenskim intervalima. Budući da su vrijednosti, na primjer, s vremena na vrijeme i nezavisne, tada je vjerovatnoća podudarnosti događaja koja se sastoji od toga da su između i u vrijeme i između i u vrijeme jednaka proizvodu vjerovatnoća svakog od ovih događaja, stoga

i općenito za bijeli šum

tj. sve gustine vjerovatnoće bijelog šuma su određene iz jednodimenzionalne gustine vjerovatnoće.

Za slučajne procese općeg oblika, ako se zna koje vrijednosti je vrijednost zauzela u datom trenutku, tada imamo neke informacije o tome gdje, budući da su količine i, općenito govoreći, zavisne. Ako se osim zna gdje, onda se informacija još više povećava. Dakle, povećanje našeg znanja o ponašanju procesa do određene tačke dovodi do povećanja informacija o tome.

Međutim, postoji posebna klasa slučajnih procesa, koju je prvi proučavao poznati matematičar A. A. Markov i tzv. Markovljevi slučajni procesi , za koje znanje o vrijednosti procesa u ovom trenutku već sadrži sve informacije o budućem toku procesa, koje se mogu izdvojiti samo iz ponašanja procesa do ovog trenutka. U slučaju Markovljevog slučajnog procesa, da bi se odredile probabilističke karakteristike procesa u određenom trenutku, dovoljno je znati vjerovatnoće za bilo koju prethodnu tačku u vremenu, na primjer, neposredno prethodnu tačku u vremenu. Poznavanje vjerojatnosnih karakteristika procesa za druga prethodna vremena, na primjer, ne dodaje informacije potrebne za pronalaženje.

Za Markovljev proces vrijedi sljedeća relacija:

, (1.51)

tj. sve gustine verovatnoće Markovljevog procesa su određene iz dvodimenzionalne gustine verovatnoće. Drugim riječima, Markovljeve slučajne procese u potpunosti karakterizira dvodimenzionalna gustina vjerovatnoće.

Koncept funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće slučajnog procesa obično se koristi u teorijskim konstrukcijama i definicijama. U praksi istraživanja su se raširile relativno jednostavnije, iako manje potpune karakteristike slučajnih procesa, slične numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli. Primeri takvih karakteristika su matematičko očekivanje, varijansa, srednja vrednost kvadrata slučajnog procesa, korelaciona funkcija, spektralna gustina i drugo.

matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajnog procesa naziva se vrijednost

(1.52)

gdje - jednodimenzionalna gustina vjerovatnoće slučajnog procesa .

Matematičko očekivanje slučajnog procesa je određena neslučajna (regularna) funkcija vremena, oko koje su sve realizacije datog slučajnog procesa grupisane i u odnosu na koje fluktuiraju (slika 1.10).

Matematičko očekivanje slučajnog procesa u svakom fiksnom trenutku vremena jednako je matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa. Matematičko očekivanje se zove prosječna vrijednost slučajnog procesa u skupu (prosek ansambla, statistički prosek), budući da je to verovatno prosečna vrednost beskonačnog skupa realizacija slučajnog procesa.

Rice. 1.10. Numeričke karakteristike slučajnih procesa

Često se uzima u obzir centriran slučajni proces

Tada se slučajni proces može posmatrati kao zbir dvije komponente: regularne komponente jednake matematičkom očekivanju i centrirane slučajne komponente, tj.

Kako bi se uzeo u obzir stepen disperzije implementacije slučajnog procesa u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost, uvodi se koncept disperzija slučajni proces, koji je jednak matematičkom očekivanju kvadrata centriranog slučajnog procesa:

. (1.55)

Varijanca slučajnog procesa je neslučajna (regularna) funkcija vremena, čija je vrijednost u svakom trenutku vremena jednaka je varijansi odgovarajućeg dijela slučajnog procesa.

Standardna devijacija slučajni proces je

Literatura: [L.1], str. 155-161

[L.2], str. 406-416, 42-426

[L.3], str. 80-81

Matematički modeli slučajnih signala i šuma su slučajni procesi. Slučajni proces (SP) je promjena slučajne varijable u vremenu. Slučajni procesi obuhvataju većinu procesa koji se dešavaju u radiotehničkim uređajima, kao i smetnje koje prate prenos signala preko komunikacionih kanala. Slučajni procesi mogu biti kontinuirano(NSP), ili diskretno(DSP) ovisno o tome koja će se slučajna varijabla, kontinuirana ili diskretna, mijenjati u vremenu. U nastavku, glavni fokus će biti na NSP.

Prije nego što se pređe na proučavanje slučajnih procesa, potrebno je odrediti načine njihovog predstavljanja. Nasumični proces ćemo označiti sa , a njegovu specifičnu implementaciju sa . Nasumični proces može biti predstavljen ili skup (ansambli) implementacija, ili jedan, već vremenski produžena implementacija. Ako fotografišemo nekoliko oscilograma slučajnog procesa i postavimo fotografije jednu ispod druge, onda će ukupnost ovih fotografija predstavljati ansambl implementacija (slika 5.3).

Ovdje - prva, druga, ..., k-ta implementacija procesa. Međutim, ako se promjena slučajne varijable prikaže na traci snimača u dovoljno velikom vremenskom intervalu T, tada će proces biti predstavljen jednom implementacijom (slika 5.3).

Kao i slučajne varijable, slučajni procesi su opisani zakonima distribucije i probabilističkim (numeričkim) karakteristikama. Vjerojatnostne karakteristike se mogu dobiti kako usrednjavanjem vrijednosti slučajnog procesa preko ansambla implementacija, tako i prosječenjem po jednoj implementaciji.

Neka slučajni proces bude predstavljen skupom implementacija (slika 5.3). Ako odaberemo proizvoljnu tačku u vremenu i fiksiramo vrijednosti koje su implementacije preuzele u ovom trenutku, tada ukupnost ovih vrijednosti čini jednodimenzionalni dio SP-a

i slučajna je varijabla. Kao što je već gore naglašeno, iscrpna karakteristika slučajne varijable je funkcija distribucije ili jednodimenzionalna gustoća vjerovatnoće

.

Naravno, i , i , imaju sva svojstva funkcije distribucije i gustine distribucije vjerovatnoće o kojima se raspravljalo gore.

Numeričke karakteristike u presjeku određene su u skladu s izrazima (5.20), (5.22), (5.24) i (5.26). Dakle, posebno je matematičko očekivanje zajedničkog ulaganja u poprečnom presjeku određeno izrazom

a varijansa je izraz

Međutim, zakoni distribucije i numeričke karakteristike samo u odeljku nisu dovoljni da se opiše slučajni proces koji se razvija u vremenu. Stoga je potrebno razmotriti drugi dio (slika 5.3). U ovom slučaju, SP će već biti opisan sa dvije slučajne varijable i razmaknut vremenskim intervalom i biti karakteriziran dvodimenzionalnom funkcijom distribucije i dvodimenzionalna gustina , gdje , . Očigledno, ako uvedemo treće, četvrto, itd. sekciji, može se doći do višedimenzionalne (N-dimenzionalne) funkcije raspodjele i, shodno tome, do višedimenzionalne gustine distribucije.

Najvažnija karakteristika slučajnog procesa je autokorelacione funkcije(AKF)

koji uspostavlja stepen statističke veze između vrednosti SP u vremenskim tačkama i

Predstavljanje SP-a kao ansambla realizacija dovodi do koncepta stacionarnosti procesa. Slučajni proces je stacionarno, ako svi početni i centralni momenti ne zavise od vremena, tj.

, .

Ovo su strogi uslovi, stoga, kada su ispunjeni, razmatra se zajedničko ulaganje bolnica u užem smislu.

U praksi se koncept stacionarnosti koristi u širokom smislu. Slučajni proces je stacionaran u širem smislu ako njegovo matematičko očekivanje i varijansa ne ovise o vremenu, tj.:

a autokorelacija je određena samo intervalom i ne zavisi od izbora na vremenskoj osi

U nastavku će se razmatrati samo slučajni procesi koji su stacionarni u širem smislu.

Gore je napomenuto da se slučajni proces, osim što je predstavljen ansamblom realizacija, može predstaviti i jednom realizacijom u vremenskom intervalu T. Očigledno, sve karakteristike procesa se mogu dobiti usrednjavanjem vrijednosti proces tokom vremena.

Matematičko očekivanje SP-a kada se usredsredi tokom vremena određuje se na sledeći način:

. (5.46)

Ovo implicira fizičko značenje: matematičko očekivanje je prosječna vrijednost (konstantna komponenta) procesa.

SP disperzija je određena izrazom

i ima fizičko značenje prosječne snage varijabilne komponente procesa.

Funkcija autokorelacije kada je usrednjena tokom vremena

Nasumični proces se zove ergodic, ako se njegove probabilističke karakteristike dobijene usrednjavanjem po ansamblu poklapaju sa vjerovatnoćastim karakteristikama dobijenim usrednjavanjem tokom vremena jedne implementacije iz ovog ansambla. Ergodični procesi su stacionarni.

Upotreba izraza (5.46), (5.47) i (5.48) zahtijeva, striktno govoreći, implementaciju slučajnog procesa velikog (teorijski beskonačnog) opsega. Prilikom rješavanja praktičnih zadataka vremenski interval je ograničen. U ovom slučaju, većina procesa se smatra približno ergodičnim i vjerovatnoćarske karakteristike se određuju u skladu s izrazima

; (5.49)

;

Zovu se slučajni procesi koji nemaju matematičko očekivanje centriran. U nastavku će se misliti na vrijednosti centriranih stohastičkih procesa. Tada izrazi za funkciju varijanse i autokorelacije poprimaju oblik

; (5.50)

Zapažamo svojstva ACF-a ergodičkih slučajnih procesa:

– funkcija autokorelacije je stvarna funkcija argumenta,

– funkcija autokorelacije je parna funkcija, tj. ,

– sa povećanjem ACF opada (ne nužno monotono) i teži nuli kao

- ACF vrijednost pri jednakoj disperziji (prosječna snaga) procesa

.

U praksi se često mora raditi sa dva ili više zajedničkih ulaganja. Na primjer, mješavina slučajnog signala i smetnji se istovremeno prima na ulazu radio prijemnika. Odnos između dva slučajna procesa se uspostavlja pomoću unakrsne korelacijske funkcije(VKF). Ako su i dva slučajna procesa karakterizirana realizacijama i , tada je međukorelacija funkcija određena izrazom

Poglavlje 1. Osnovni koncepti teorije slučajnih procesa

Definicija slučajnog procesa. Osnovni pristupi zadatku

slučajni procesi. Koncept realizacije i preseka.

Elementarni slučajni procesi.

Slučajni (stohastički, probabilistički) proces je funkcija realne varijable t, čije su vrijednosti odgovarajuće slučajne varijable X(t).

U teoriji slučajnih procesa, t se tretira kao vrijeme koje uzima vrijednosti iz nekog podskupa T skupa realnih brojeva (t T, T R).

U okviru klasične matematičke analize, funkcija y=f(t) se shvaća kao takav tip zavisnosti varijabli t i y, kada određena brojčana vrijednost argumenta t odgovara jedinoj numeričkoj vrijednosti funkcije y . Za slučajne procese, situacija je bitno drugačija: postavljanje specifičnog argumenta t dovodi do pojave slučajne varijable X(t) sa poznatim zakonom raspodjele (ako je diskretna slučajna varijabla) ili sa datom gustinom distribucije (ako je je kontinuirana slučajna varijabla). Drugim riječima, karakteristika koja se proučava u svakom trenutku vremena je slučajne prirode sa neslučajnom distribucijom.

Vrijednosti koje obična funkcija y=f(t) uzima u svakom trenutku u potpunosti određuju strukturu i svojstva ove funkcije. Za slučajne procese situacija je potpuno drugačija: ovdje apsolutno nije dovoljno znati distribuciju slučajne varijable X(t) za svaku vrijednost t, potrebne su informacije o očekivanim promjenama i njihovim vjerovatnoćama, odnosno informacije o stepen zavisnosti nadolazeće vrednosti slučajnog procesa od njegove istorije.

Najopštiji pristup opisivanju slučajnih procesa je postavljanje svih njegovih multivarijantnih distribucija, kada je određena vjerovatnoća da se sljedeći događaji dogode istovremeno:

t 1 , t 2 ,…,t n T, n N: X(t i)≤ x i ; i=1,2,…,n;

F(t 1 ;t 2 ;…;t n ;x 1 ;x 2 ;…;x n)= P(X(t 1)≤x 1 ; X(t 2)≤x 2 ;…; X(t n)≤x n).

Ovaj način opisivanja slučajnih procesa je univerzalan, ali vrlo glomazan. Za postizanje značajnih rezultata izdvajaju se najvažniji specijalni slučajevi koji omogućavaju upotrebu naprednijeg analitičkog aparata. Posebno je pogodno razmotriti slučajni proces X(t, ω) kao funkcija dvije varijable: t T, ω Ω , koji za bilo koju fiksnu vrijednost t T postaje slučajna varijabla definirana na prostoru vjerovatnoće (Ω, AA, P), gdje je Ω neprazan skup elementarnih događaja ω; AA - σ-algebra podskupova skupa Ω, odnosno skupa događaja; P je mjera vjerovatnoće definirana na AA.

Neslučajna numerička funkcija x(t)=X(t, ω 0) naziva se realizacija (putektorija) slučajnog procesa X(t, ω).

Poprečni presjek slučajnog procesa X(t, ω) je slučajna varijabla koja odgovara vrijednosti t=t 0 .

Ako argument t uzima sve realne vrijednosti ili sve vrijednosti iz nekog intervala T realne ose, onda se govori o slučajnom procesu sa kontinuiranim vremenom. Ako t uzima samo fiksne vrijednosti, onda se govori o slučajnom procesu sa diskretnim vremenom.

Ako je presjek slučajnog procesa diskretna slučajna varijabla, onda se takav proces naziva proces diskretnog stanja. Ako je bilo koja sekcija kontinuirana slučajna varijabla, onda se poziva slučajni proces kontinuirani proces stanja.

U opštem slučaju, analitički je nemoguće odrediti slučajni proces. Izuzetak je tzv elementarni slučajni procesi, čiji je oblik poznat, a slučajne varijable su uključene kao parametri:

X(t)=X(t,A 1 ,…,A n), gdje su A i , i=1,…,n proizvoljne slučajne varijable sa specifičnom distribucijom.

Primjer 1 . Razmatra se slučajni proces X(t)=A·e - t, gdje je A jednoliko raspoređena diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti (-1;0;1); t≥0. Opisati sve njegove implementacije slučajnog procesa X(t) i prikazati sekcije u trenutku t 0 =0; t 1 =1; t2=2.

Rješenje.

Ovaj slučajni proces je proces sa kontinuiranim vremenom i diskretnim stanjima. Pri t=0, dio slučajnog procesa X(t) je diskretna slučajna varijabla A(-1;0;1), ravnomjerno raspoređena.

Pri t=0, dio slučajnog procesa X(t) je diskretna slučajna varijabla A(-1;0;1), ravnomjerno raspoređena.

Kod t=1, dio slučajnog procesa X(t) je diskretna slučajna varijabla (-1/e;0;1/e), ravnomjerno raspoređena.

Kod t=2, dio slučajnog procesa X(t) je diskretna slučajna varijabla (-1/e 2 ;0;1/e 2 ) raspoređena jednoliko.

Primjer 2 . Razmatra se slučajni proces X(t)=sin At, gdje je A diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti (0;1;2); argument t uzima diskretne vrijednosti (0; π/4; π/2; π). Prikažite grafički sve realizacije i dijelove ovog slučajnog procesa.

Rješenje.

Ovaj slučajni proces je proces sa diskretnim vremenom i diskretnim stanjima.

Procesi

funkcija pregleda

funkcija pregleda

Rješenje.

Matematičko očekivanje: m Y (t)=M(Xe - t)=e - t m X =me - t .

Disperzija: D Y (t)=D(Xe - t)=e -2 t DX=σ 2 e -2 t .

Standardna devijacija:

Korelaciona funkcija: K Y (t 1; t 2) \u003d M ((X e - t 1 -m e - t 1) × (X e - t 2 -m e - t 2)) \u003d

E -(t 1+ t 2) M(X-m) 2 =σ 2 e -(t 1+ t 2) .

Normalizirana funkcija korelacije:

Prema uslovu zadatka, slučajna varijabla X je normalno raspoređena; za fiksnu vrijednost t, poprečni presjek Y(t) linearno zavisi od slučajne varijable X, a, prema svojstvu normalne distribucije, poprečni presjek Y(t) je također normalno raspoređen s jednodimenzionalnom gustinom raspodjele :

Primjer 4 Naći glavne karakteristike slučajnog procesa Y(t)=W×e - Ut (t>0), gdje su W i U nezavisne slučajne varijable; U je ravnomjerno raspoređeno na segmentu; W ima očekivano m W i standardnu ​​devijaciju σ W .

Rješenje.

Matematičko očekivanje: m Y (t)=M(We - Ut)=MW×M(e - Ut)=m w ×*M(e - Ut);

, (t>0).

Korelaciona funkcija:

jer

disperzija:

Primjer 5 Naći jednodimenzionalni zakon raspodjele slučajnog procesa: Y(t)=Vcos(Ψt-U), gdje su V i U nezavisne slučajne varijable; V je normalno raspoređen s parametrima (m V ; σ V); Ψ-const; U- je ravnomjerno raspoređena na segmentu.

Rješenje.

Matematičko očekivanje slučajnog procesa Y(t):

disperzija:

Standardna devijacija:

Okrećemo se izvođenju jednodimenzionalnog zakona raspodjele. Neka je t-fiksan trenutak vremena, a slučajna varijabla U uzima fiksnu vrijednost U=u - const; u , tada dobijamo sljedeće uslovne karakteristike slučajnog procesa Y(t):

M(Y(t)| U=u)=m V ×cos(Ψt-u);

D(Y(t)|U=u)= ×cos 2 (Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|.

Budući da je slučajna varijabla V normalno raspoređena i da su za datu vrijednost slučajne varijable U=u svi dijelovi linearno zavisni, tada je uvjetna distribucija u svakom dijelu normalna i ima sljedeću gustinu:

Bezuslovna jednodimenzionalna gustina slučajnog procesa Y(t):

Očigledno, ova raspodjela više nije normalna.

Konvergencija i kontinuitet

Konvergencija u vjerovatnoći.

Kažu da niz slučajnih varijabli (H n ) konvergira u vjerovatnoće na slučajnu varijablu X za n®¥, ako

Oznaka:

Imajte na umu da za n®¥ dolazi do klasične konvergencije vjerovatnoće na 1, odnosno, kako se broj n povećava, moguće je garantirati vjerovatnoće koje su proizvoljno bliske 1. Ali u isto vrijeme, nemoguće je garantirati bliskost vrijednosti slučajnih varijabli X n vrijednostima slučajne varijable X za bilo koje proizvoljno velike vrijednosti n, jer imamo posla sa slučajnim varijablama .

stohastički kontinuirano in tačka t 0 T ako

3. Konvergencija u prosjeku na stepen p³1.

Kažu da je niz slučajnih varijabli (X n ) konvergira u prosjek u stepenu p³ 1 na slučajnu varijablu X, ako

Oznaka: X n X.

Posebno, (X n ) konvergira u rms na slučajnu varijablu X, ako

Oznaka:

Poziva se slučajni proces X(t), t T kontinuirano u rms u tački t 0 T ako

4. Konvergencija gotovo sigurna (konvergencija sa vjerovatnoćom jedan).

Kažu da je niz slučajnih varijabli (X n) konvergira gotovo sigurno na slučajnu varijablu X, ako

gdje je ωnW elementarni događaj vjerovatnostnog prostora (W, AA, P).

Oznaka: .

Slaba konvergencija.

Kažu da je niz ( F Xn (x)) funkcija distribucije slučajnih varijabli X n konvergira slabo na funkciju distribucije F X (x) slučajne varijable X ako postoji tačkasta konvergencija u svakoj tački kontinuiteta funkcije F X (x).

Oznaka: F Xn (x)Þ F X (x).

Rješenje.

1) Matematičko očekivanje, varijansa, standardna devijacija, korelaciona funkcija i normalizovana korelaciona funkcija slučajnog procesa X(t) imaju oblik (vidi. Primjer 3):

2) Prelazimo na izračunavanje karakteristika slučajnog procesa X’ (t). U skladu sa Teoreme 1-3 dobijamo:

Izuzev matematičkog očekivanja (koje je promijenilo predznak), sve ostale karakteristike su u potpunosti sačuvane. Međusobne korelacijske funkcije slučajnog procesa X(t) i njegove derivacije X’ (t) imaju oblik:

3) Prema Teoreme 41-64 glavne karakteristike integrala slučajnog procesa X(t) imaju sljedeća značenja:

D(t1;t2)=???????????????

Međusobne korelacijske funkcije slučajnog procesa X(t) i njegovog integrala Y(t):

Izražavanje forme

,

gdje je φ ik (t), k=1;2;…-neslučajne funkcije; V i , k=1;2;… - nekorelirane centrirane slučajne varijable, naziva se kanonska ekspanzija slučajnog procesa X(t), dok se slučajne varijable V i nazivaju koeficijenti kanonske ekspanzije; i neslučajne funkcije φ ki (t) - koordinatne funkcije kanonske ekspanzije.

Razmotrite karakteristike slučajnog procesa

Pošto prema uslovu onda

Očigledno, isti slučajni proces ima različite tipove kanonske ekspanzije u zavisnosti od izbora koordinatnih funkcija. Štaviše, čak i kod izbora koordinatnih funkcija postoji proizvoljnost u distribuciji slučajnih varijabli V k. U praksi se na osnovu rezultata eksperimenata dobijaju procjene matematičkog očekivanja i korelacijske funkcije: . Nakon proširenja u dvostruki Fourierov red u koordinatnim funkcijama φ do (t):

dobiti vrijednosti disperzija D Vk slučajnih varijabli V k .

Primjer 7. Slučajni proces X(t) ima sljedeću kanoničku ekspanziju: , gdje je V k -normalno raspoređene nekorelirane slučajne varijable s parametrima (0; σ to); m 0 (t) je neslučajna funkcija. Pronađite glavne karakteristike slučajnog procesa X(t), uključujući gustinu distribucije.

Rješenje.

Iz općih formula dobijenih ranije, imamo:

U svakoj sekciji slučajni proces X(t) ima normalnu distribuciju, jer je linearna kombinacija nekoreliranih normalno raspoređenih slučajnih varijabli V k , dok jednodimenzionalna gustina distribucije ima oblik:

Zakon dvodimenzionalne raspodjele je također normalan i ima sljedeću dvodimenzionalnu gustinu distribucije:

Primjer 8 Poznato je matematičko očekivanje m X (t) i korelaciona funkcija K X (t 1 ;t 2)=t 1 t 2 slučajnog procesa X(t), gdje je . Naći kanonsko proširenje X(t) u terminima koordinatnih funkcija, pod uslovom da su koeficijenti proširenja V k normalno raspoređene slučajne varijable.

Rješenje.

Korelaciona funkcija ima sljedeće proširenje

shodno tome,

;

;

jer ,

onda ; .

Gustoća distribucije slučajnih varijabli V k:

Kanonsko proširenje slučajnog procesa X(t) ima oblik:

.

užeg i šireg smisla.

Značajan broj događaja koji se dešavaju u prirodi, posebno onih koji se odnose na rad tehničkih uređaja, su „gotovo“ u stabilnom stanju, odnosno obrazac takvih događaja, podložan manjim slučajnim fluktuacijama, ipak uglavnom traje tokom vremena. . U ovim slučajevima uobičajeno je govoriti o stacionarnim slučajnim procesima.

Na primjer, pilot održava zadatu visinu leta, ali različiti vanjski faktori (naleti vjetra, uzlazni mlaz, promjene potiska motora, itd.) uzrokuju fluktuaciju visine leta oko date vrijednosti. Drugi primjer bi bila putanja klatna. Kada bi bilo prepušteno samo sebi, onda bi, pod uslovom da nema sistematskih faktora koji dovode do prigušenja oscilacija, klatno bilo u režimu stabilnih oscilacija. Ali različiti vanjski faktori (naleti vjetra, slučajne fluktuacije tačke ovjesa, itd.), Bez promjene parametara oscilatornog načina rada u cjelini, ipak čine karakteristike kretanja ne determinističkim, već slučajnim.

Stacionaran (homogen u vremenu) je slučajni SP proces, čije se statističke karakteristike ne mijenjaju tokom vremena, tj. su invarijantne u vremenu i pomacima.

Razlikovati slučajne procese SP stacionarne u širem i uskom smislu.

Takav da

Uslov je ispunjen

F(t 1 ; t 2 ;… ;t n ; x 1 ; x 2 ;…; x n)=F(t 1 +τ; t 2 +τ;… ;t n +τ; x 1 ; x 2 ;…; x n ),

i, prema tome, sve n-dimenzionalne distribucije ne zavise od vremenskih tačaka t 1 ; t 2 ;… ;t n , a od n-1 trajanje vremenskih intervala τ i ;:

Konkretno, jednodimenzionalna gustina raspodjele uopće ne ovisi o vremenu t:

2D gustina poprečnog presjeka u vremenima t 1 i t 2

n-dimenzionalna gustina presjeka u trenutku t 1 ; t2 ...; tn:

Slučajni proces SP Xx(t) naziva se stacionarnim u širem smislu ako su njegovi momenti prvog i drugog reda invarijantni u odnosu na vremenski pomak, odnosno njegovo matematičko očekivanje ne ovisi o vremenu t i konstanta je, a korelacija funkcija zavisi samo od dužine vremenskog intervala između sekcija:

Očigledno je da je stacionarni slučajni proces SSP u užem smislu stacionarni slučajni proces SSP-a, au širem smislu, obrnuto nije tačno.

Proces SSP

2. 3. Funkcija korelacije stacionarnog slučajnog procesa CSP-a je parna:

Pošto ima sljedeću simetriju

4. Varijanca stacionarnog slučajnog procesa SSP je konstanta jednaka

vrijednost njegove korelacijske funkcije u tački:

6. Korelaciona funkcija stacionarnog slučajnog procesa CSP je

pozitivno definitivno, tj

Normalizovana korelaciona funkcija stacionarnog slučajnog procesa SSP je takođe paran, pozitivno određen, i, štaviše,

Primjer 11. Pronađite karakteristike i izvedite zaključak o vrsti slučajnog procesa SP Xx(t):

gdje je U 1 i b U 2 - nekorelirane slučajne varijable SW;

Rješenje.

Stoga je slučajni proces X(t) stacionaran u širem smislu. Kako slijedi iz Primjer 10..., ako su U 1 i U 2 nezavisne, centrirane i normalno raspoređene slučajne varijable CB, onda slučajni proces SP je takođe stacionaran u širem smislu.

Primjer 12. … Dokažite stacionarnost u širem smislu da je slučajni proces SP Xx(t) stacionaran u širem smislu:

gdje je V i nezavisne slučajne varijable CB; MV=m vV - konst; je slučajna varijabla CV, niti ravnomjerno raspoređena po segmentu;

Rješenje.

Pišemo Xx(t) na sljedeći način:

Budući da je slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena na intervalu, gustina raspodjele ima oblik:

shodno tome,

Dobijamo

Budući da slučajni proces SP Xx(t) ima konstantno matematičko očekivanje i varijansu, a korelacija je funkcija od , tada je, bez obzira na zakon distribucije slučajne varijable CV V M, slučajni proces SP X x(t) stacionaran u širem smislu.

Stacionarna povezana zajednička ulaganja

Slučajni SP procesi X(t)X(t) i Y(t)Y(t) nazivaju se stacionarnim ako njihova međusobna korelacija zavisi samo od razlike argumenata τ =t 2 -t 1:

R x XY y (t 1 ;t 2)=r x XY y (τ).

Stacionarnost samih slučajnih procesa SP X(t) X(t) i Y(t) Y(t) ne znači da su nepokretni.

Zabilježimo glavna svojstva stacionarnih slučajnih procesa SP, derivaciju i integral stacionarnih slučajnih procesa SP,

1) 1) rR x XYy (τ)=rR y YXx (-τ).

2) 2)

3) 3)

gdje

5) 5) gdje

6) 6) ;

Primjer 13 Korelaciona funkcija stacionarnog slučajnog procesa SSP X(t) X(t) ima oblik

Naći korelacijske funkcije, varijanse, međusobne korelacijske funkcije slučajnih procesa SP X(t), X’(t), .

Rješenje.

Ograničavamo našu analizu slučaja na vrijednosti D x X (t)=1.

Koristimo sljedeću relaciju:

Dobijamo:

Imajte na umu da, kao rezultat, kada se razlikuje i, stacionarni slučajni proces STS X(t) prelazi u stacionarni slučajni proces STS X'(t) , dok su X(t) i X'(t) stacionarni povezan. Prilikom integracije stacionarnog slučajnog procesa STS X(t), nastaje nestacionarni slučajni proces STS Y(t), iu ovom slučaju X(t) i Y(t) nisu stacionarno povezani.

I njihove karakteristike

Među stacionarnim slučajnim procesima CSP-a postoji posebna klasa procesa tzv ergodic , koji imaju sljedeća svojstva: karakteristike dobijene usrednjavanjem skupa svih realizacija poklapaju se sa odgovarajućim karakteristikama dobijenim usrednjavanjem tokom vremena jedne realizacije posmatrane na intervalu (0, T) dovoljno dugog trajanja. Odnosno, u dovoljno velikom vremenskom intervalu bilo koji implementacija prolazi bilo koji stanje bez obzira kakvo je bilo početno stanje sistema na t=0; i u tom smislu, svaka realizacija u potpunosti predstavlja čitav skup realizacija.