إذا $أ$و $ب$هي عناصر من مجموعة اعتباطية مرتبة جزئيًا ، ثم هناك احتمال منطقي رابع: لم يتم استيفاء أي من هذه العلاقات الثلاثة. في هذه الحالة ، العناصر $أ$و $ب$اتصل لا يضاهى. على سبيل المثال ، إذا $م$- مجموعة الوظائف ذات القيمة الحقيقية في المقطع $$ثم العناصر $و\; (س)\; =\; س$و $ز\; (س)\; =\; 1-س$سيكون لا يضاهى. تفسر إمكانية وجود عناصر لا تضاهى معنى المصطلح "مجموعة مرتبة جزئيًا".

العناصر الدنيا / القصوى والصغرى / الكبرى

المقالات الرئيسية: الحد الأقصى (الرياضيات) , الحد الأدنى (رياضيات)

نظرًا لحقيقة أن المجموعة المرتبة جزئيًا يمكن أن تحتوي على أزواج من العناصر التي لا تضاهى ، فقد تم تقديم تعريفين مختلفين: الحد الأدنى للعنصرو أصغر عنصر.

عنصر $أ\; \backslash \; في\; م$اتصل الحد الأدنى(إنجليزي) عنصر الحد الأدنى) إذا كان العنصر غير موجود . بعبارات أخرى، $أ$- الحد الأدنى للعنصر ، إذا كان لأي عنصر $ب\; \backslash \; في\; م$أو $ب>\; أ$، أو $ب\; =\; أ$، أو $ب$و $أ$لا يضاهى. عنصر $أ$اتصل الأقل(إنجليزي) أقل عنصر ، حد أدنى (مقابل. حد أعلى) ) إذا كان لأي عنصر $ب\; \backslash \; في\; م$هناك عدم مساواة $ب\; \backslash \; geqslant\; أ$. من الواضح أن كل عنصر أصغر هو أيضًا في حده الأدنى ، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام: العنصر الأدنى $أ$قد لا يكون أصغر إذا كانت هناك عناصر $ب$، لا يمكن مقارنتها بـ $أ$.

من الواضح ، إذا كان هناك عنصر أصغر في المجموعة ، فهو فريد. ولكن يمكن أن يكون هناك العديد من العناصر الدنيا. كمثال ، ضع في اعتبارك المجموعة $\backslash \; mathbb\; (N)\; \backslash \; setminus\; \backslash \; (1\; \backslash )\; =\; \backslash \; (2\; ،\; 3\; ،\; \backslash \; ldots\; \backslash )$الأعداد الطبيعية بدون وحدة مرتبة حسب القسمة $\backslash \; منتصف$. هنا ، سيكون الحد الأدنى من العناصر هو الأعداد الأولية ، لكن أصغر عنصر غير موجود.

المفاهيم أقصى(إنجليزي) العنصر الأقصى) و أعظم(إنجليزي) أعظم عنصر) عناصر.

الوجوه العلوية والسفلية

يترك $أ$- مجموعة فرعية من مجموعة مرتبة جزئيًا $\backslash \; langle\; M\; ،\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; rangle$. عنصر $ش\; \backslash \; في\; م$اتصل الوجه العلوي(إنجليزي) الحد الاعلى) $أ$إن وجد أي عنصر $أ\; \backslash \; في\; أ$لا يتجاوز $ش$. الفكرة الوجه السفلي(إنجليزي) الأدنى) مجموعات $أ$.

أي عنصر أكبر من حد أعلى $أ$، سيكون أيضًا الحد الأعلى $أ$. وأي عنصر أقل من حد أدنى $أ$، سيكون أيضًا الحد الأدنى $أ$. هذه الاعتبارات تؤدي إلى إدخال المفاهيم أقل وجه(إنجليزي) أقل حد أعلى) و أعظم وجه سفلي(إنجليزي) أكبر حد أدنى).

أنواع خاصة من المجموعات المطلوبة جزئيًا

مجموعات مرتبة خطيا

المقال الرئيسي: مجموعة مرتبة خطيا

يترك $\backslash \; langle\; M\; ،\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; rangle$هي مجموعة مرتبة جزئيًا. إذا كان في $م$أي عنصرين قابلة للمقارنة ، ثم المجموعة $م$اتصل أمر خطي(إنجليزي) مجموعة مرتبة خطيًا). تسمى المجموعة المرتبة خطيًا أيضًا مرتبة بإتقان(إنجليزي) مجموعة مرتبة بالكامل)، أو ببساطة، مجموعة مرتبة. وهكذا ، في مجموعة مرتبة خطيًا ، لأي عنصرين $أ$و $ب$واحد فقط مما يلي: إما

أيضًا ، يتم استدعاء أي مجموعة فرعية مرتبة خطيًا من مجموعة مرتبة جزئيًا سلسلة(إنجليزي) سلسلة) ، أي سلسلة في مجموعة مرتبة جزئيًا $\backslash \; langle\; M\; ،\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; rangle$هي مجموعتها الفرعية التي يمكن فيها مقارنة أي عنصرين.

من أمثلة المجموعات المرتبة جزئيًا أعلاه ، يتم ترتيب مجموعة الأرقام الحقيقية فقط خطيًا. مجموعة الوظائف ذات القيمة الحقيقية على مقطع $$(بشرط

في مجموعة مرتبة خطيًا ، تكون مفاهيم الأصغر والأدنى ، وكذلك الأكبر والأقصى ، هي نفسها.

مجموعات مرتبة جيدًا

المقال الرئيسي: مجموعة مرتبة بشكل جيد

تسمى المجموعة المرتبة خطيًا منظم تماما(إنجليزي) حسن الترتيب) إذا كانت كل مجموعة فرعية غير فارغة بها أصغر عنصر. وفقًا لذلك ، يتم استدعاء الطلب على المجموعة بترتيب كامل(إنجليزي) حسن الترتيب).

مثال كلاسيكي على مجموعة مرتبة جيدًا هو مجموعة الأعداد الطبيعية $\backslash \; mathbb\; (N)$. التأكيد على أن أي مجموعة فرعية غير فارغة $\backslash \; mathbb\; (N)$يحتوي على أصغر عنصر ، وهو ما يعادل مبدأ الاستقراء الرياضي. مثال على مجموعة مرتبة خطيًا ولكنها غير مرتبة تمامًا هي مجموعة الأرقام غير السالبة $\backslash \; mathbb\; (R)\; \_\; (+)\; =\; \backslash \; (x:\; x\; \backslash \; geqslant\; 0\; \backslash )$. في الواقع ، مجموعتها الفرعية $\backslash \; (س:\; س>\; 1\; \backslash )$لا يحتوي على أصغر عنصر.

تلعب المجموعات جيدة الترتيب دورًا مهمًا للغاية في نظرية المجموعات العامة.

نظريات في مجموعات مرتبة جزئيا

من بين النظريات الأساسية في المجموعات المرتبة جزئيًا مبدأ Hausdorff الأقصىو ليما كوراتوفسكي زورن. هذه العبارات معادلة لبعضها البعض وتعتمد بشكل أساسي على ما يسمى ببديهية الاختيار (في الواقع ، إنها مكافئة لبديهية الاختيار).

ملحوظات

المؤلفات

• ألكساندروف ب.مقدمة في نظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة. - م: "ناوكا" 1977. - 368 ص.

• Kolmogorov A. N.، Fomin S. V.عناصر نظرية الوظائف والتحليل الوظيفي. - الطبعة السابعة. - م: "FIZMATLIT" 2004. - 572 ص. - ردمك 5-9221-0266-4
• Hausdorf F.نظرية المجموعات. - الطبعة الرابعة. - م: URSS، 2007. - 304 ص. - ردمك 978-5-382-00127-2

أنظر أيضا

• بنية
• عدد ترتيبي
• طلب مسبق

cs: Uspořádaná množinaeo: Partordohu: Részbenrendezett halmazko: 부분 순서 nl: Partiële orde oc: Relacion d "òrdre ro: Relaţie de ordine sl: Relacija urejenostizh: 偏 序 关系

تنبيه: الأساس الأولي لهذه المقالة كان مقالة مماثلة في http://ru.wikipedia.org ، بموجب شروط CC-BY-SA ، http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 ، والتي كانت تم تغييرها وتصحيحها وتحريرها لاحقًا.

مجموعة P ذات علاقة ثنائية محددة عليها والتي تفي بالشروط التالية: 4) في أي مجموعة فرعية غير فارغة ~ يوجد عنصر مثل هذا للجميع ؛ هكذا V. في. م هي مجموعة مرتبة خطيًا تفي بشرط الحد الأدنى. مفهوم V. at. تم تقديمه بواسطة G. Kantor. مثال V. في. م هي مجموعة الأعداد الطبيعية المرتبة بشكل طبيعي. من ناحية أخرى ، مقطع الأعداد الحقيقية بترتيب طبيعي ليس V. u. م أي مجموعة فرعية من V. في. م نفسه أمر تماما. حاصل ضرب ديكارتي لعدد منتهي V. u. م يتم ترتيبها بالكامل من خلال علاقة الترتيب المعجمي. يتم ترتيب المجموعة المرتبة خطيًا جيدًا إذا وفقط إذا كانت لا تحتوي على مجموعة فرعية مضادة للتشابه (انظر Antiisomorphism للمجموعات المرتبة جزئيًا) لمجموعة الأعداد الطبيعية. أصغر عنصر في V. at. م رناز. صفر (ويشار إليه بالرمز 0). بالنسبة لأي عنصر ، فإن مجموعة المقطع الأولي من المجموعة P. بالنسبة لأي عنصر ليس أكبر عنصر في P ، يوجد عنصر يتبعه مباشرةً ؛ عادة ما يتم الإشارة إليه بواسطة a + 1. العنصر V. at. يسمى م ​​، الذي لا يسبقه مباشرة ، الحد. نظرية المقارنة. لأي اثنين من V. في. م. P1 و P2 ، تحدث حالة واحدة فقط من الحالات التالية: 1) P 1 متماثل إلى P 2 ، 2) P 1 متماثل لبعض الأجزاء الأولية من المجموعة P 2 ، 3) P 2 متماثل إلى الجزء الأول من المجموعة P1. بأخذ البديهية بين البديهيات لنظرية مجموعات الاختيار ، يمكن للمرء أن يثبت أنه في أي مجموعة غير فارغة يمكن للمرء تقديم علاقة ترتيب تحولها إلى V. u. م (على سبيل المثال ، يمكن طلب أي مجموعة غير فارغة بالكامل). هذه النظرية ، التي تسمى نظرية Zermelo ، تعادل في الواقع بديهية الاختيار. تعمل نظرية Zermelo ونظرية المقارنة كأساس لمقارنة المجموعات وفقًا لعناصرها الأساسية. الأنواع الترتيبية V. at. م. الأعداد العابرة للحدود. Lit: Cantor G.، "Math. Ann."، 1883، Bd 21، S. 51-8؛ الكسندروف ب. س ، مقدمة للنظرية العامة للمجموعات والوظائف ، موسكو - لينينغراد ، 1948 ؛ HausdorfF. ، نظرية المجموعات ، العابرة. من الألمانية ، M.-L. ، 1937 ؛ بورباكي ن. ، نظرية المجموعات ، العابرة. من الفرنسية ، موسكو ، 1965 ؛ كوراتوفسكي ك ، موستوفسكي أ. ، نظرية المجموعات ، مترجمة من الإنجليزية ، موسكو ، 1970. B. A. Efimov ، T. S. Fofanova.

مشاهدة القيمة مجموعة مرتبة بشكل جيدفي قواميس أخرى

الكثير من- وزن
الحشود
هاوية
هاوية
مظلم
ظلام دامس
ظلام المواضيع
كومة
من الذى
النقل بالسكك الحديدية
اختراق
الموت
قوة
قاموس مرادف

الى حد كبير- حال. كاملة ، كاملة ، ناقصة ، بدون قياس. قياس تماما. | وفيرة وكافية وكافية. إنهم يعيشون بشكل جيد. | كل ذلك بدون أثر ، كامل ، كامل ، على الإطلاق ، يكفي .........
قاموس دال التوضيحي

الكثير من- الضرب ، وما إلى ذلك ، انظر كثيرة.
قاموس دال التوضيحي

الكثير من- جموع ، راجع. (الكتاب). 1. وحدات فقط عدد كبير إلى أجل غير مسمى من شيء ما. عمال. حقائق. لقد سمعت العديد من المطربين العظماء في حياتي. نيكراسوف. 2. التجميع ........
القاموس التوضيحي لأوشاكوف

تماما ظرف.- 1. تماما ، تماما ، تماما.
القاموس التوضيحي ل Efremova

ليس تماما Adv. راز.- 1. ليس بالكامل.
القاموس التوضيحي ل Efremova

الى حد كبير- حال. بالتأكيد ، تمامًا ، تمامًا. راضٍ عن الشرح. شخص جدير. دعني لا أستمتع بالفرح بشكل كامل. بوشكين.
القاموس التوضيحي لأوشاكوف

الى حد كبير- حال. تماما ، تماما ، تماما. خامسا راضيا. V. جاهز. ب. إجابة محددة. يكفي.
القاموس التوضيحي لكوزنتسوف

الكثير من- -أ؛ راجع
1. عدد كبير جدًا ، عدد شخص ما ، شيء ما. م. الناس. م الحقائق. تنمو الزهور م. الأدلة كثيرة. أمثلة كبيرة م (جدا ........
القاموس التوضيحي لكوزنتسوف

مجموعة قابلة للوصول- العائد المتوقع المحتمل وأزواج الانحراف المعياري لجميع المحافظ التي يمكن إجراؤها من مجموعة معينة من الأصول.
القاموس الاقتصادي

المجموعة المجدية (أو مجموعة الفرص))- مجموعة المحافظ التي يمكن تكوينها من الأوراق المالية التي ينظر فيها المستثمر.
القاموس الاقتصادي

الكثير من- مجموعة من العناصر والمعلمات مجتمعة حسب البعض
إشارة
القاموس الاقتصادي

مجموعة الحلول الممكنة- المنطقة التي يمكن إنتاجها فيها
اختيار الحلول ، مقيد بالأهداف المحددة والموارد المتاحة.
القاموس الاقتصادي

مجموعة عالمية- ، في الرياضيات - مجموعة تحتوي على جميع العناصر بخاصية معينة. تسمى أيضًا المجموعة الافتراضية ، والتي يجب أن تتضمن كل ما هو ممكن ........
القاموس الموسوعي العلمي والتقني

الكثير من- في الرياضيات ، انظر نظرية المجموعات.

كثير غير معدود- مفهوم نظرية المجموعات. مجموعة لا حصر لها تكون أصلها أكبر من أصل مجموعة قابلة للعد. على سبيل المثال ، مجموعة جميع الأرقام الحقيقية هي مجموعة غير معدودة.
قاموس موسوعي كبير

مجموعة فارغة- مفهوم نظرية المجموعات. مجموعة فارغة - مجموعة لا تحتوي على أي عنصر ؛ مبين؟ أو 0. ينشأ مفهوم المجموعة الفارغة (مثل مفهوم "الصفر") ........
قاموس موسوعي كبير

مجموعة معدودة- مفهوم نظرية المجموعات. المجموعة المعدودة هي مجموعة لا نهائية يمكن تعداد عناصرها بالأرقام الطبيعية. مجموعة كل الأعداد المنطقية ........
قاموس موسوعي كبير

أسباب ضرورية قليلة أو كثيرة- مخطط سببي يوفر سببين على الأقل لشرح ما يحدث.
القاموس الاجتماعي

أسباب مرضية قليلة أو كثيرة- مخطط سببي يعمل إذا ، في حالة عدم وجود أي معلومات أولية ، يوفر الموقف إمكانية مجموعة متنوعة من التفسيرات ، ........
القاموس الاجتماعي

فئة ، مجموعة (في المنطق والرياضيات)- - مجموعة محدودة أو لانهائية من الأشياء ، يتم تحديدها وفقًا لسمتها المشتركة (الملكية أو العلاقة) ، والتي يمكن تصورها كشيء كامل. الكائنات التي يتكون منها K. ، ........
القاموس الفلسفي

مجموعة ضبابية- - مجموعة ذات حدود ضبابية ، عندما يحدث الانتقال من الانتماء إلى المجموعة إلى عدم الانتماء إلى المجموعة بشكل تدريجي ، وليس بشكل حاد. بشكل كلاسيكي ...
القاموس الفلسفي

مجموعة عاديةانظر: التناقض في التعريف الصريح.
القاموس الفلسفي

تماما- بالكامل ، ج. على الاطلاق تماما. خامسا راضيا.
القاموس التوضيحي لأوزيجوف

الكثير من- الكثير ، -a ، راجع. 1. عدد كبير جدًا ، رقم شخص ما. م. الناس. م الحالات. الكثير من الأسهم. 2. في الرياضيات: مجموعة من العناصر مجتمعة ........
القاموس التوضيحي لأوزيجوف

رابعا مفارقات ياشينكو في نظرية المجموعات

8. مجموعات مرتبة جيدًا

ضع في اعتبارك المجموعة م، حول بعضالأزواج أ, بمن المعروف أن تكون عناصره أ Ј ب(أي في المجموعة ممعطى علاقة الطلب). يمكن أيضًا تفسير علاقة الترتيب على أنها مجموعة فرعية من مربع المجموعة م 2 = م× م: في جدول تتوافق صفوفه وأعمدته مع عناصر المجموعة م، تكون بعض الخلايا مظللة - إذا كانت الخلية الموجودة عند تقاطع العمود مظللة أوالخطوط ب، ومن بعد أ Ј ب.

علاقة النظام ، بالطبع ، ليست مجرد مجموعة فرعية م× م، يجب أن تستوفي الخصائص التالية:

1) أ Ј ألأي احد أا م;

2) إذا أ Ј بو ب Ј ج، ومن بعد أ Ј ج;

3) إذا أ Ј بو ب Ј أ، ومن بعد أ = ب.

علاقات الترتيب هي ، على سبيل المثال ، المقارنة المعتادة للأرقام على خط مستقيم (Ј) ، تداخل المجموعات (H) ، النسبة "يقسم" ( أ | ب – أيقسم ب).

في بعض الأحيان ، من علاقة الطلب ، تريد أن تفي ببعض الخصائص الإضافية ، على سبيل المثال ، إذا لم تكن هناك عناصر لا تضاهى ، أي حول أي عنصرين أو بيمكن القول أنه إما أ Ј ب، أو ب Ј أ، ثم يتم استدعاء ترتيب المجموعة الترتيب الخطي: يمكن ترتيب جميع عناصر المجموعة بترتيب تصاعدي.

بالمضي قدمًا قليلاً ، نقول إن ترتيب عناصر المجموعة ضروري ، على وجه الخصوص ، حتى نتمكن من النظر في الكائنات عن طريق الاستقراء: أريد أن أكون قادرًا على التفكير أولاً في العنصر الأول ، وإثبات بعض العبارات الخاصة به ، ثم استخدام حقيقة أن هذه العبارة صحيحة بالنسبة للعنصر الأول نالعناصر ، وإخراجها و ( ن+ 1) عشر. بالنسبة للأعداد الطبيعية ، يعتمد إثبات مبدأ الاستقراء الرياضي على حقيقة أن أي مجموعة فرعية غير فارغة من الأعداد الطبيعية لها أصغر عنصر .

ضع في اعتبارك عدة أمثلة لمجموعات مرتبة جيدًا.

0 درجة. المجموعة الفارغة J.

1 درجة. مجموعة (Ж).

2 درجة. المجموعة (Ж ، (Ж)).

لاحظ أن هذه المجموعات مرتبة فيما يتعلق بعلاقة العضوية (О). من السهل تخمين كيف تبدو مجموعة جيدة الترتيب من ثلاثة عناصر لعلاقة الطلب هذه:

3 درجة. (Ж ، (Ж) ، (Ж ، (Ж))).

..............................................

ن°. (Ж ، (Ж) ، (Ж ، (Ж)) ، ... ، ( ن- 2) ° ، ( ن- 1) °) - ن- يتم الحصول على المجموعة من قبل اتحاد السابق ن- 1 مجموعة.

تعريف.المجموعات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة تسمى الأعداد الطبيعية.

كل هذه المجموعات تشكل مجموعة الأعداد الطبيعية ن. فكر في سبب أهمية بديهية اللانهاية لوجود هذه المجموعة (انظر بديهية اللانهاية). تعيين العنصر ماتصل الأقلإذا كان أقل من أي عنصر آخر م. يمكنك أيضا تحديد الحد الأدنىعنصر م: هذا عنصر من هذا القبيل ، أقل مما هو موجود في المجموعة مرقم. من المهم أن في حالة متى ملم يتم ترتيب المفاهيم خطيًا الأقل والأدنى العناصر مختلفة. على وجه الخصوص ، يوجد دائمًا عنصر واحد على الأقل على الأقل ، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة للحد الأدنى. على التين. 4 لكل عنصر من العناصر أ 15 و أ 51 كحد أدنى.

مجموعة مرتبة جزئيا- مفهوم رياضي يضفي الطابع الرسمي على الأفكار البديهية لترتيب العناصر وترتيبها في تسلسل معين. بشكل غير رسمي ، يتم ترتيب المجموعة جزئيًا إذا تم تحديد العناصر إتبعلأي من العناصر أكثراي واحدة). في الحالة العامة ، قد يتضح أن بعض أزواج العناصر لا ترتبط بالعلاقة " يتبع».

كمثال مجرد ، يمكننا إعطاء مجموعة من المجموعات الفرعية لمجموعة من ثلاثة عناصر (المنطقية لمجموعة معينة) ، مرتبة حسب علاقة التضمين.

التعريف والأمثلة

ترتيب، أو طلب جزئى، على مجموعة هي علاقة ثنائية على (محددة من قبل مجموعة ما) التي تفي بالشروط التالية:

المجموعة التي يتم من خلالها استدعاء علاقة الترتيب الجزئي أمرت جزئيا(إنجليزي) مجموعة مرتبة جزئيا ، موقف). لكي أكون دقيقًا تمامًا ، فإن المجموعة المرتبة جزئيًا هي زوج ، حيث تكون مجموعة ، وتكون علاقة ترتيب جزئية على.

المصطلحات والترميز

عادةً ما يُرمز إلى علاقة الترتيب الجزئي بالرمز ، بالتشابه مع العلاقة "أقل من أو يساوي" في مجموعة الأعداد الحقيقية. في هذه الحالة ، إذا ، فإننا نقول أن العنصر لا يتجاوز، أو ماذا المرؤوس .

إذا و ، ثم اكتب ، وقل ذلك أقل، أو ماذا تابع بدقة .

في بعض الأحيان ، من أجل التمييز بين ترتيب تعسفي على مجموعة معينة من العلاقة المعروفة "أقل من أو يساوي" في مجموعة الأرقام الحقيقية ، يتم استخدام الرموز الخاصة بدلاً من و ، على التوالي.

أمر صارم وغير صارم

وتسمى أيضًا العلاقة التي تفي بشروط الانعكاسية والعبودية وعدم التناسق التراخي، أو ترتيب انعكاسي. إذا تم استبدال الشرط الانعكاسي بالشرط المضادة للانعكاس(ثم ​​يتم استبدال خاصية عدم التناسق بعدم التناسق):

ثم نحصل على التعريف حازم، أو أمر مضاد للانعكاس.

إذا كان أمرًا غير صارم على المجموعة ، فإن العلاقة المعرفة على النحو التالي:

هو أمر صارم على. على العكس من ذلك ، إذا كان أمرًا صارمًا ، فعندئذ يتم تعريف العلاقة على أنها

هو أمر غير صارم.

لذلك ، كل شيء متشابه - لتعيين أمر غير صارم على المجموعة ، أو ترتيب صارم. والنتيجة هي نفس الهيكل. الفرق هو فقط في المصطلحات والترميز.

أمثلة

دعونا نقدم علاقة الترتيب على النحو التالي: ، إذا كانت المتباينة صحيحة للجميع. من الواضح أن العلاقة المقدمة هي بالفعل علاقة ترتيب جزئية.

التعريفات ذات الصلة

عناصر لا تضاهى

إذا كانت هذه الأرقام حقيقية ، فعندئذٍ تكون واحدة فقط من العلاقات التالية صحيحة:

إذا كانت عناصر مجموعة مرتبة جزئياً تعسفية ، فهناك احتمال منطقي رابع: لم يتم استيفاء أي من العلاقات الثلاثة المشار إليها. في هذه الحالة ، يتم استدعاء العناصر لا يضاهى. على سبيل المثال ، إذا كانت مجموعة الوظائف ذات القيمة الحقيقية في المقطع ، فإن العناصر ستكون غير قابلة للمقارنة. تفسر إمكانية وجود عناصر لا تضاهى معنى المصطلح "مجموعة مرتبة جزئيًا".

العناصر الدنيا / القصوى والصغرى / الكبرى

نظرًا لحقيقة أن المجموعة المرتبة جزئيًا يمكن أن تحتوي على أزواج من العناصر التي لا تضاهى ، فقد تم تقديم تعريفين مختلفين: الحد الأدنى للعنصرو أصغر عنصر.

يسمى العنصر الحد الأدنى(إنجليزي) عنصر الحد الأدنى) إذا كان العنصر غير موجود. بمعنى آخر ، هو الحد الأدنى للعنصر إذا كان لأي عنصر إما ، أو ، أو لا يمكن مقارنته. يسمى العنصر الأقل(إنجليزي) أقل عنصر ، حد أدنى (مقابل. حد أعلى) ) إذا كانت المتباينة صحيحة لأي عنصر. من الواضح أن أي عنصر أصغر يكون أيضًا في حده الأدنى ، لكن العكس ليس صحيحًا في الحالة العامة: قد لا يكون العنصر الأدنى هو الأصغر إذا كانت هناك عناصر لا يمكن مقارنتها.

من الواضح ، إذا كان هناك عنصر أصغر في المجموعة ، فهو فريد. ولكن يمكن أن يكون هناك العديد من العناصر الدنيا. كمثال ، ضع في اعتبارك مجموعة الأعداد الطبيعية بدون وحدة ، مرتبة حسب علاقة القسمة. هنا ، سيكون الحد الأدنى من العناصر هو الأعداد الأولية ، لكن أصغر عنصر غير موجود.

المفاهيم أقصى(إنجليزي) العنصر الأقصى) و أعظم(إنجليزي) أعظم عنصر) عناصر.

الوجوه العلوية والسفلية

يجب أن تكون مجموعة فرعية من مجموعة مرتبة جزئيًا. يسمى العنصر الوجه العلوي(إنجليزي) الحد الاعلى) إذا كان أي عنصر لا يتجاوز. الفكرة الوجه السفلي(إنجليزي) الأدنى) مجموعات .

أي عنصر أكبر من بعض الوجه العلوي سيكون أيضًا وجهًا علويًا. وأي عنصر أقل من حد ما سيكون أيضًا معدومًا. هذه الاعتبارات تؤدي إلى إدخال المفاهيم أقل وجه(إنجليزي) أقل حد أعلى) و أعظم وجه سفلي(إنجليزي) أكبر حد أدنى).

مجموعة أعلى وأسفل

لعنصر من مجموعة مرتبة جزئيًا أعلى مجموعة(إنجليزي) مجموعة العلوي ، بالضيق) هي مجموعة كل العناصر مسبوقة بـ ().

أكمل مجموعة مرتبة جزئيا(إنجليزي) أمر جزئي كامل ، أمر جزئي كامل ) هي مجموعة مرتبة جزئيًا لها الأسفلهو العنصر الوحيد الذي يسبق أي عنصر آخر وكل مجموعة فرعية موجهة لها حد أعلى محدد. تُستخدم المجموعات الكاملة المرتبة جزئيًا في حساب التفاضل والتكامل وعلوم الكمبيوتر ، على وجه الخصوص ، يتم تقديم طوبولوجيا سكوت عليها ، والتي على أساسها يتم بناء نموذج ثابت من حساب التفاضل والتكامل والدلالات الدلالية للحسابات. الحالة الخاصة للمجموعة الكاملة المرتبة جزئيًا هي شبكة كاملة - إذا كانت أي مجموعة فرعية ، وليست موجهة بالضرورة ، لها حد علوي أقل ، ثم اتضح أنها شبكة كاملة.

المجموعة المرتبة هي مجموعة كاملة مرتبة جزئيًا إذا وفقط إذا كانت كل وظيفة رتيبة فيما يتعلق بالترتيب () تحتوي على واحدة على الأقل